2021-2022 学年北师大版八年级数学下册《第 4 章因式分解》期末综合复习题（附 答案） 一．选择题 1．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1 C．a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2 D．ax+ay+a＝a（x+y） 2．下列因式分解中，正确的是（　　） A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y） B．ax+ay+a＝a（x+y） C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b） D．4x2+9＝（2x+3）2 3．代数式 x4﹣81，x2﹣9 与 x2﹣6x+9 的公因式为（　　） A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9 4．多项式 x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（　　） A．x2﹣x+1 B．x2+x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+x﹣1 5．把 2a2﹣8 分解因式，结果正确的是（　　） A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2 C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2 6．已知 a＝2b﹣5，则代数式 a2﹣4ab+4b2﹣5 的值是（　　） A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0 7．已知 a 为任意整数，且（a+13）2﹣a2 的值总可以被 n（n 为自然数，且 n≠1）整除，则 n 的值为（　　） A．13 B．26 C．13 或 26 D．13 的倍数 8．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（　　） A．﹣m2+n2 B．a2﹣2ab﹣b2 C．m2+n2 D．﹣a2﹣b2 9．已知甲、乙、丙均为含 x 的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为 x2﹣9，乙与丙相乘的积为 x2﹣3x，则甲与丙相乘的积为（　　） A．3x+3 B．x2+3x 10．已知 xy＝﹣1，x+y＝2，则 A．﹣2 B．2 C．3x﹣3 D．x2﹣3x ＝（　　） C．﹣4 D．4 二．填空题 11．232﹣1 可以被 10 和 20 之间某两个整数整除，则这两个数是　 　． 12．因式分解：x2y﹣y3＝　 　． 13．在实数范围内分解因式：x4﹣6x2+9＝　 　． 14．若 x2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式，则 m 的值为 　 　． 15．分解因式：y2﹣4﹣2xy+x2＝　 　． 三．解答题 16．因式分解： （1）4a2﹣9 （2）x3﹣2x2y+xy2 17．把下列各式因式分解： （1）m3﹣16m （2）（x2﹣y2）2﹣4x2y2 18．把下列各式因式分解： （1）2a（x﹣y）﹣b（y﹣x） （2）（m+2n）2﹣（2m+n）2 19．已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且 a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC 的形状， 并证明你的结论． 20 ． 阅 读 材 料 ： 利 用 公 式 法 ， 可 以 将 一 些 形 如 ax2+bx+c （ a≠0 ） 的 多 项 式 变 形 为 a（x+m）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 ax2+bx+c（a≠0）的配方法， 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：x2+2x﹣3； （2）求多项式 x2+6x﹣9 的最小值； （3）已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC 的 周长． 21．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2 的多种运用后，要求同学们 运用所学知识解答：求代数式 x2+4x+5 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出 如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当 x＝﹣2 时，（x+2）2 的值最小，最小值是 0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0 时，（x+2）2+1 的值最小，最小值是 1， ∴x2+4x+5 的最小值是 1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当 x＝　 　时，代数式 x2﹣6x+12 的最小值是 　 　； （2）知识运用：若 y＝﹣x2+2x﹣3，当 x＝　 　时，y 有最 　 　值（填“大”或“小”）， 这个值是 　 　； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求 y+x 的最小值． 参考答案 一．选择题 1．解：根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式， A、右边不是积的形式，故本选项错误； B、右边最后不是积的形式，故本选项错误； C、右边是（a﹣2b）（a﹣2b），故本选项正确； D、结果是 a（x+y+1），故本选项错误． 故选：C． 2．解：A、应为 x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），故本选项错误； B、应为 ax+ay+a＝a（x+y+1），故本选项错误； C、a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b），故本选项正确； D、应为 4x2+12x+9＝（2x+3）2，故本选项错误． 故选：C． 3．解：x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）， ＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）； x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）； x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 因此 3 个多项式的公因式是 x﹣3． 故选：C． 4．解：原式＝（a﹣b）y（x2+x+1）， 公因式是（a﹣b）y， 故选：B． 5．解：原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 6．解：已知式子 a＝2b﹣5 变形为 a﹣2b＝﹣5， ∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝52﹣5＝20． 故选：B． 7．解：∵（a+13）2﹣a2＝13（2a+13），n≠l ∴（a+13）2﹣a2 的值总能被 13 整除，即 n＝13． 故选：A． 8．解：﹣m2+n2＝（n+m）（n﹣m）， 故选：A． 9．解：∵甲与乙相乘的积为 x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），乙与丙相乘的积为 x2﹣3x＝x（x﹣ 3）， ∴甲为 x+3，乙为 x﹣3，丙为 x， 则甲与丙相乘的积为 x（x+3）＝x2+3x， 故选：B． 10．解：∵xy＝﹣1，x+y＝2， ∴ ＝ xy（x2+2xy+y2） ＝ xy（x+y）2 ＝ ＝﹣2． 故选：A． 二．填空题 11．解：原式＝（216+1）（216﹣1） ＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1） ＝（216+1）（28+1）×17×15． 则这两个数是 15 和 17． 故答案是：15 和 17． 12．解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）． 故答案为 y（x+y）（x﹣y） 13．解：x4﹣6x2+9＝（x2﹣3）2＝（x+ 故答案为：（x+ ）2（x﹣ ）2（x﹣ ）2． ）2． 14．解：∵x2+2（3﹣m）x+25 可以用完全平方式来分解因式， ∴2（3﹣m）＝±10 解得：m＝﹣2 或 8． 故答案为：﹣2 或 8． 15．解：原式＝（y2﹣2xy+x2）﹣4 ＝（x﹣y）2﹣4 ＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）， 故答案为：（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）． 三．解答题 16．解：（1）原式＝（2a+3）（2a﹣3）； （2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2． 17．解：（1）原式＝m（m2﹣16）＝m（m+4）（m﹣4）； （2）原式＝（x2﹣y2+2xy）（x2﹣y2﹣2xy）． 18．解：（1）原式＝2a（x﹣y）+b（x﹣y）＝（x﹣y）（2a+b）； （2）原式＝（m+2n+2m+n）（m+2n﹣2m﹣n）＝3（m+n）（n﹣m）． 19．解：△ABC 是等边三角形， 理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0 ∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， 则 a＝b，b＝c， 故 a＝b＝c， 则△ABC 是等边三角形． 20．解：（1）x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1） （x+3）； （2）x2+6x﹣9＝x2+6x+（ ）2﹣ ﹣9＝（x+3）2﹣18， ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣18≥﹣18， ∴多项式 x2+6x﹣9 的最小值为﹣18； （3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， 即 a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25﹣9﹣16﹣25+50＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC 的周长为 3+4+5＝12． 21．解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∴当 x＝3 时，有最小值 3； 故答案为 3，3． （2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴当 x＝1 时有最大值﹣2； 故答案为 1，大，﹣2． （3）∵﹣x2+3x+y+5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6， ∴当 x＝1 时，y+x 的最小值为﹣6．