二次函数与平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A、B、C、P 四点构成平行四边形，则可分成以下几 种情况 （1）当边 AB 是对角线时，那么有 （2）当边 AC 是对角线时，那么有 （3）当边 BC 是对角线时，那么有 1 .在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的面积为 S． 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得 点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标． 【答案】（1） ；（2） ， 时 有最大值 ； （3） 或 或 或 ． 【解析】 【分析】 （1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式． （2）设出 M 点的坐标，利用 S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB 即可进行解答； （3）当 OB 是平行四边形的边时，表示出 PQ 的长，再根据平行四边形的对边相等列出方 程求解即可；当 OB 是对角线时，由图可知点 A 与 P 应该重合． 【详解】 解：（1）设此抛物线的函数解析式为： 将 ， 解得 ， 三点代入函数解析式得： ， 所以此函数解析式为： （2）∵ ∴ ， 点的横坐标为 ； ，且点 点的坐标为： 在这条抛物线上， ， ∴ ∵ 当 ， 时， 有最大值为： ． ， 答： 时 有最大值 （3）设 当 ∴ ． ． 为边时，根据平行四边形的性质知 的横坐标等于 解得 如图，当 四边形 代入 由此可得 ，则 ，得 ， ． ， ， ．（ 为对角线时，知 与 不合题意，舍去） 应该重合， 为平行四边形则 得出 ， 的横坐标， 又∵直线的解析式为 由 ，且 为 或 ， ． 横坐标为 4， ． 或 或 ． 【点睛】 本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法． 2 .抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴相交于 A．B 两点（点 A 在 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D． （1）直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m： ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形； ② 设△BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式． 【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；抛物线的对称轴是：x=1； （2）①当 m=2 时，四边形 PEDF 为平行四边形；② ． 【解析】 【分析】 （1）对于抛物线解析式，令 y=0 求出 的值，确定出 A 与 B 坐标，令 x=0 求出 确定出 坐标，进而求出对称轴即可； （2）①根据 与 坐标，利用待定系数法确定出直线 标，根据抛物线解析式确定出 出 的值 与 坐标，表示出 解析式，进而表示出 与 坐 ，利用平行四边形的判定方法确定 的值即可； ② 连接 关于 ，设直线 与 x 轴交于点 M，求出 的长，根据 的二次函数解析式． 【详解】 解：(1)对于抛物线 令 x=0，得到 y=3； 令 y=0，得到 ，即(x?3)(x+1)=0， 解得：x=?1 或 x=3， 则 A(?1，0)，B(3，0)，C(0，3)，抛物线对称轴为直线 x=1； (2)① 设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b， 把 B(3，0)，C(0，3)分别代入得： 解得：k=?1，b=3， ∴直线 BC 的解析式为 y=?x+3， 当 x=1 时，y=?1+3=2， ∴E(1，2) 当 x=m 时，y=?m+3， ∴P(m，?m+3) 令 ∴D(1，4)， 中 x=1，得到 y=4， ，列出 当 x=m 时， ∴线段 DE=4?2=2， ∵0<m<3， ∴线段 连接 DF，由 PF∥DE，得到当 PF=DE 时，四边形 PEDF 为平行四边形， 由 ，得到 m=2 或 m=1(不合题意,舍去)， 则当 m=2 时，四边形 PEDF 为平行四边形； ② 连接 BF，设直线 PF 与 x 轴交于点 M,由 B(3，0)，O(0，0)，可得 OB=OM+MB=3， 3 .如图，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣1 与 x 轴的交点为 A(﹣1，0)，B(2，0)，且与 y 轴交 于 C 点. (1)求该抛物线的表达式； (2)点 C 关于 x 轴的对称点为 C1，M 是线段 BC1 上的一个动点(不与 B、C1 重合)，ME⊥x 轴，MF⊥y 轴，垂足分别为 E、F，当点 M 在什么位置时，矩形 MFOE 的面积最大？说明 理由. (3)已知点 P 是直线 y＝ x+1 上的动点，点 Q 为抛物线上的动点，当以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 P 和点 Q 的坐标. 【答案】(1) ；(2)点 M 为线段 C1B 中点时，S 矩形 MFOE 最大，理由见解析； (3) 点 P 和点 Q 的坐标为 P1(4，3)，Q1(4，5)或 P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或 P3(2，2)，Q3(2，0)或 P4(﹣2，0)，Q4(2，0). 【解析】 【分析】 （1）将 A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入解析式即可解答 （2）令 x＝0，y＝﹣1，得出 C 的坐标，再利用对称轴的性质得出 C1，将 B(2，0)，C1(0，1)分别代入直线 C1B 解析式，得出直线 C1B 的解析式，设 M(t， )，则 E(t，0)，F(0， )，根据矩形的面积公式即可解答 （3）根据题意可分情况讨论①当 C1C 为边，则 C1C∥PQ，C1C＝PQ，设 P(m， )，求出 m 即可解答；② C1C 为对角线，∵C1C 与 PQ 互相 m+1)，Q(m， 平分，C1C 的中点为(0，0)，PQ 的中点为(0，0)，设 P(m， m+1)，则 Q(﹣m， )，求出 m 即可 【详解】 (1)将 A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入抛物线 y＝ax2+bx﹣1 中，得 ∴该抛物线的表达式为： ，解得： . 中，令 x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1) (2)在 ∵点 C 关于 x 轴的对称点为 C1， ∴C1(0，1)，设直线 C1B 解析式为 y＝kx+b，将 B(2，0)，C1(0，1)分别代入得 ，解得 ∴直线 C1B 解析式为 ， ，设 M(t， )，则 E(t，0)，F(0， ) ∴S 矩形 MFOE＝OE×OF＝t( ∵﹣ )＝﹣ (t﹣1)2+ ， ＜0， ∴当 t＝1 时，S 矩形 MFOE 最大值＝ ，此时，M(1， )；即点 M 为线段 C1B 中点时，S 矩形 最大. (3)由题意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分 以下两种情况： MFOE ①C1C 为边，则 C1C∥PQ，C1C＝PQ，设 P(m， )﹣( ∴|( m+1)，Q(m， )， m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)， P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0) ②C1C 为对角线，∵C1C 与 PQ 互相平分，C1C 的中点为(0，0)， ∴PQ 的中点为(0，0)，设 P(m， ∴( m+1)+( m+1)，则 Q(﹣m， ) )＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2， ∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)； 综上所述，点 P 和点 Q 的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或 P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或 P3(2，2)，Q3(2，0)或 P4(﹣2，0)，Q4(2，0). 【点睛】 此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值 4 .综合与探究 如图，抛物线 经过点 A(-2,0)，B(4,0)两点，与 物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 轴交于点 C，点 D 是抛 .连接 AC，BC，DB，DC， (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的 时，求 的值； (3)在(2)的条件下，若点 M 是 轴上的一个动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存 在这样的点 M,使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ；(2)3；(3) . 【解析】 【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可； (2)作直线 DE⊥ 轴于点 E，交 BC 于点 G，作 CF⊥DE，垂足为 F，先求出 S△OAC=6，再 根据 S△BCD= S△AOC，得到 S△BCD = G 的坐标为 ，然后求出 BC 的解析式为 ，由此可得 ，则可得点 ，再根据 S△BCD=S△CDG+S△BDG= ，可得关于 m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以 BD 为边或者以 BD 为对角线进行平行四边形的构图，以 BD 为 边时，有 3 种情况，由点 D 的坐标可得点 N 点纵坐标为± 和点 N 的纵坐标为 ，然后分点 N 的纵坐标为 两种情况分别求解；以 BD 为对角线时，有 1 种情况，此时 N1 点 与 N2 点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得 BM1=N1D=4，继而求得 OM1= 8，由此即可求得答案. 【详解】 经过点 A(-2,0)，B(4,0)， (1)抛物线 ∴ ， 解得 ， ； ∴抛物线的函数表达式为 (2)作直线 DE⊥ 轴于点 E，交 BC 于点 G，作 CF⊥DE，垂足为 F， ∵点 A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2， 由 ，得 ，∴点 C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ， ∴S△OAC= ∵S△BCD= S△AOC， ∴S△BCD = ， 设直线 BC 的函数表达式为 ， 由 B，C 两点的坐标得 ，解得 ∴直线 BC 的函数表达式为 ∴点 G 的坐标为 ， ， ， ， ∴ ∵点 B 的坐标为(4,0)，∴OB=4， ， ∵S△BCD=S