专题 1.1 菱形的性质与判定（知识解读） 【直击考点】 【学习目标】 1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。 2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。 3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。 【知识点梳理】 考点 1 菱形的性质 ： 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 考点 2 菱形的面积： 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 1 1 1 1 S 菱形 ABCD=4 S Rt Δ AOB =4× ⋅ AC⋅ BD= AC⋅BD 2 2 2 2 考点 3 菱形的判定： ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【典例分析】 【考点 1 菱形的性质】 【典例 1】（2022 春•海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8，则这个菱形 的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【变式 1-1】（2022 春•启东市校级月考）如图，若四边形 ABCD 是菱形，AC＝24，BD＝ 10，则菱形 ABCD 的边长是（　　） A．13 B．12 C．26 D．52 【变式 1-2】（2021 秋•双流区期末）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，对角线 BD＝ 6，则菱形的边 AB 的长为（　　） A．4 B．6 C．3 D．8 【变式 1-3】（2022•剑阁县模拟）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，连接 AC，BD， 若 BD＝8，则 AC 的长为（　　） A． B．8 C． D．16 【典例 2】（2022•石阡县模拟）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点， 如果 EF＝4，那么菱形 ABCD 的周长是（　　） A．16 B．24 C．28 D．32 【变式 2-1】（2020 春 • 武川县期中）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，BC＝6cm，则 OH 的长为（　　） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 【变式 2-2】（2018•沙湾区模拟）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝60°，E、F 分别 是边 BC、CD 中点，则△AEF 周长等于（　　） A． B． C． D．3 【 变 式 2-3 】 （ 2022• 河 东 区 一 模 ） 如 图 ， 若 菱 形 ABCD 的 顶 点 A 、 B 的 坐 标 分 别 为 （3，0）、（﹣2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5） 【考点 2 菱形的面积】 【典例 3】（2022 春•连江县期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 BD＝4，AC＝12，则 菱形 ABCD 的面积为（　　） A．96 B．48 C．24 D．12 【变式 3-1】（2021 秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为 6cm 和 8cm，则这个 菱形的面积是（　　） A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2 【变式 3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， 过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，连接 OH，若 OA＝4，OH＝2，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A．8 B．16 C．24 D．32 【 变 式 3-3 】 （ 2022 春 • 仓 山 区 期 中 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC ＝ 8 ， BD ＝ 6，DH⊥AB 于点 H，则 DH 的长是（　　） A． B． C． D． 【考点 3 菱形的判定】 【典例 4】（2022 春• 晋安区期中）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件仍不能判断四边形 ABCD 是菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB 【变式 4-1】（2022 春•九龙坡区校级月考）如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于 点 O，添加下列条件不能判定四边形 ABCD 是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC 平分∠DAB D．AC＝BD 【变式 4-2】（2021 秋 • 天桥区期末）如图，点 B，C 分别是锐角∠A 两边上的点，AB＝ AC ， 分 别 以 点 B ， C 为 圆 心 ， 以 AB 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 D ， 连 接 BD，CD，则根据作图过程判定四边形 ACDB 是菱形的依据是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线平分一组对角的四边形是菱形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【变式 4-3】（2022 春•无锡期中）如图，已知点 E、F 分别是四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，G、H 分别是对角线 BD、AC 的中点，要使四边形 EGFH 是菱形，则四边形 ABCD 需满足的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC 【典例 5】（2022•潮南区模拟）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，连接 EF． （1）若∠EAF＝60°，求证：△AEF 是等边三角形； （2）若 AB∥CD，求证：四边形 ABCD 为菱形． 【变式 5-1】（2021 秋 • 碑林区校级期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝ 3，∠C＝60°，E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 DE、BF．求证：四边形 EBFD 是菱 形． 【变式 5-2】（2021 秋•佛山月考）如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，DA 的长为 半径画弧，交 BA 于点 F，作∠DAB 的角平分线，交 CD 于点 E，连接 EF．求证：四边 形 AFED 是菱形． 【变式 5-3】（2022 春•宝应县月考）已知：如图，在 ▱ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 BE 平分∠ABC，EF∥AB． 求证：（1）AB＝AE； （2）四边形 ABFE 是菱形． 【典例 6】（2020 春•永春县期末）如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB＝ 13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形 ABCD 是菱形． 【变式 6-1】（2019 秋•景泰县校级期中）已知：如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相 交于点 O，AB＝ ，OA＝2，OB＝1，求证：▱ABCD 是菱形． 【变式 6-2】（2022 春•新田县期中）如图，在▱ABCD 中，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 作 EF⊥BD，垂足为点 O，且交 AD，BC 分别于点 E，F． 求证：四边形 BEDF 是菱形． 【考点 4 菱形的性质与判定综合】 【典例 7】（2022•丹江口市模拟）如图，AM∥BN，C 是 BN 上一点，BD 平分∠ABN 且过 AC 的中点 O，交 AM 于点 D，DE⊥BD，交 BN 于点 E． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形． （2）若 DE＝AB＝2，求菱形 ABCD 的面积． 【变式 7-1】（2022 春•庐江县期中）如图，△ ABC 中，D，E 分别是 AC，AB 的中点，DE ＝ CE，过点 B 作 BF∥CE，交 DE 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 BCEF 是菱形． （2）若 BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形 BCEF 的面积． 【变式 7-2】（2021 秋•章丘区期末）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 的垂 直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 M、N． （1）求证：四边形 BNDM 是菱形； （2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形 BNDM 的周长． 【变式 7-3】（2022•仪征市一模）在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点．过点 A 做 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形 ADCF 是菱形； （3）若 AC＝3，AB＝4，求菱形 ADCF 的面积． 专题 1.1 菱形的性质（知识解读） 【直击考点】 【学习目标】 1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。 2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。 3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。 【知识点梳理】 考点 1 菱形的性质 ： 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （3）且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 考点 2 菱形的面积： 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 1 1 1 1 S 菱形 ABCD=4 S Rt Δ AOB =4× ⋅ AC⋅ BD= AC⋅BD 2 2 2 2 考点 3 菱形的判定： ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【典例分析】 【考点 1 菱形的性质】 【典例 1】（2022 春•海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8，则这个菱形 的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【解答】解：在菱形 ABCD 中，AC＝8，BD＝6，如图： ∵ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4． ∴AB＝5． ∴周长＝4×5＝20． 故选：D 【变式 1-1】（2022 春•启东市校级月考）如图，若四边形 ABCD 是菱形，AC＝24，BD＝ 10，则菱形 ABCD 的边长是（　　） A．13 B．12 C．26 D．52 【答案】A 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝24，BD＝1