浙教版 · 九年级上册 知识网络 开口方向 二次函数的概念 对称性 顶点最值 二次函数的图象与性质 二次函数 增减性 不共线三点确定二次函数的表达式 一般式 顶点式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用 实际应用 - 利润问 题 几何综合应用 交点式 知识梳理 1. 二次函数的概念 形如 y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠ 0) 的函数叫做二次函数 . 其中 x 是自变量， a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项 . 温馨提示 ：1 ）等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的整式； （ （ 2 ） a,b,c 为常数，且 a≠ 0; （ 3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有 二次项 . 知识梳理 2 . 二 次 函 数 的 图 象 与 性 y ＝ ax2 a>0 y a<0 y O 图象 O 位置开 口方向 开口向上 , 在 x 轴上方 对称性 顶点最值 增减性 x x 开口向下 , 在 x 轴下方 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x ＝ 0 顶点坐标是原点（ 0 ， 0 ） 当 x=0 时， y 最小值 =0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 当 x=0 时， y 最大值 =0 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识梳理 2. 二次函数的图象与性质 y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 a＞0 向上 y轴 （ 0,k ） a＜0 向下 y轴 （ 0,k ） 当 x=0 时， y 最小值 当 x=0 时， y 最大值 =k 当 x ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大 . =k 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ 0 时， y 随 x 的 增大而增大 . 知识梳理 2 . 二 次 函 数 的 图 象 与 性 y=a(x-h)2 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 a＞0 向上 直线 x=h （ h,0 ） 当 x=h 时， y 最小值 =0 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大 而增大 . a＜0 向下 直线 x=h （ h,0 ） 当 x=h 时， y 最大值 =0 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大 而增大 . 知识梳理 2 . 二 次 函 数 的 图 象 与 性 二次函数 开口 方向 y=a(x-h)2+k a＞0 上 a ＜ 0 对称轴 x=h 顶点坐标 (h , k) 最 a＞ 0 值 a＜ 0 y 最小 =k y 最大 =k y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 开口向 开口向下 b x 2a b 4ac  b 2 ( , ) 2a 4a 4ac  b 2 y 最小 = 4a 2 4ac  b y 最大 4a = 增 a ＞ 0 在对称轴左边 ,x↗ y↘; 在对称轴右边 , x↗ y↗ 减 a ＜ 0 在对称轴左边 ,x↗ y↗; 在对称轴右边 , x↗ y↘ 性 知识梳理 3. 二次函数图像的平 移 y ＝ ax2 沿 x 轴翻折 y ＝ -ax2 左、右平移 左加右减 y  a( x �h)2 上、下平移 上加下减 y  a( x �h) 2 �k 写成一般形式 y  ax 2  bx  c 知识梳理 4. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 的关 系 向上 向下 y 左 右 正 负 知识梳理 5. 二次函数表达式的求法 知识梳理 6. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y=ax2+bx+c 的图 象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等 的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实 数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 知识梳理 7. 二次函数的应用 1 ．二次函数的应用包括以下两个方面 (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 ( 即最值问 题)； (2) 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解． 2 ．一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及 性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义． 考点解析 1 抛物线的顶点、对称轴、最值 【例 1 】 抛物线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 的顶点坐标为 (1,2)________ ． 【解析】 方法一：配方，得 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 ＝ (x － 1)2 ＋ 2 ，则顶点坐标为 (1,2) ． b 2 x  1 2a 2 �1 4ac  b 2 4 �� 1 3  22 y  2 4a 4 �1 方法二代入公式 ， ， 2 【点睛】解决此类题目可以先把二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋ c 配方为顶点式 则顶点坐标为 (1,2) ． y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的形式，得到：对称轴是直线 x ＝ h ，最值为 y ＝ k ， 顶点坐标为 (h ， k) ；也可以直接利用公式求解 . 迁移应用 对于 y ＝ 2(x － 3)2 ＋ 2 的图像下列叙述正确的是 C ( 　　 ) A ．顶点坐标为 ( － 3,2) B ．对称轴为 y ＝ 3 C ．当 x≥3 时， y 随 x 的增大而增大 D ．当 x≥3 时， y 随 x 的增大而减小 考点解析 2 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较 【例 2 】二次函数 y ＝－ x2 ＋ bx ＋ c 的图像如图所示，若点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 在此函数图像上，且 x1<x2<1 ，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( 　　 ) B A. y1≤y2 B ． y1<y2 C ． y1≥y2 D ． y1>y2 【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是 x ＝ 1 ，当 x ＜ 1 时， y 随 x 的增大而增大． ∵x1<x2<1 ，∴ y1<y2 . 故选 B. 迁移应用 下列函数中，当 x ＞ 0 时， y 值随 x 值增大而减小的是（ D A. y= x 2 B.y=x-1 C. 3 y x 4 D.y=-3x2 ） 考点解析 3 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的图像与系数 a ， b ， c 的关系 【例 3 】已知二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图像如图所示，下列结论：① abc ＞ 0 ；② 2a － b ＜ 0 ；③ 4a － 2b ＋ c ＜ 0 ；④ (a ＋ c)2 ＜ b2. 其中正 D 确的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． 2 　　　　　 C ． 3 　　　　　 D ． 4 考点解析 解析：由图像开口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左 侧可得 b ＜ 0 ，由图像与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故①正确； 由对称轴 x> － 1 可得 2a － b ＜ 0 ，故②正确； 由图像上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4a － 2b ＋ c ＜ 0 ，故③正确； 由图像上横坐标为 x ＝ 1 的点在第四象限得出 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图像上横坐标为 x ＝－ 1 的点在第二象限得 出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 (a ＋ b ＋ c)(a － b ＋ c) ＜ 0 ， 即 (a ＋ c)2 － b2 ＜ 0 ，可得 (a ＋ c)2 ＜ b2 ， 考点解析 【点睛】 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b ＝ 0⇔ 对称轴是 y 轴； a 、 b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧； a 、 b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧 . 这个规 律可简记为“左同右异” . 2. 当 x ＝ 1 时，函数 y ＝ a ＋ b ＋ c. 当图像上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上 方时， a ＋ b ＋ c ＞ 0 ；当图像上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上时， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ；当图像上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴下方时， a ＋ b ＋ c ＜ 0. 同 理，可由图像上横坐标 x ＝－ 1 的点判断 a － b ＋ c 的符号 . 迁移应用 1. 已知二次函数 y= － x2 ＋ 2bx ＋ c ，当 x ＞ 1 时， y 的值随 x 值的增大而 减小，则实数 b 的取值范围是（ ） D A ． b≥ － 1 C ． b≥1 B ． b≤ － 1 D ． b≤1 解析：∵二次项系数为－ 1 ＜ 0 ，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞ 1 时， y 的值随 x 值的增 大而减小，∴抛物线 y= － x2 ＋ 2bx ＋ c 的对称轴应在直线 x=1 的左侧而抛 b ＋ c 的对称轴 物线 y= － x2 x＋ 2bx  b 2 �(1) ，即 b≤1 ，故选择 D .