《图形的变换》题型解读 8 单一线段的最值问题 【解题方法】 三个位置确定动点运动路线，再依图形找到该线段的最值位置（依据的数学原理：①两点之间线段最短；②垂线 段最短） 【思路梳理】 1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型 2.解析技巧：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束或特殊位置），并把这三 点连线，确定运动路线，再求出它的长度； 【典型例题】 例 1.如图，边长为 5 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN，则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是______ 【思路分析】H 是定点，N 是动点，动点 N 随动点 M 的运动而运动，我们可以利用“特殊位置法”，抓住点 M 的初 始位置、随意位置、特殊位置来确定点 N 的运动路线，再依“垂线段最短”求 HN 的最小值 ① 当 M 与点 C 重合时，BM 即 BC，线段 BM 逆时针旋转 60°即 BC 逆时针旋转 60°，可知此时点 N0 与点 A 重 合； ② 取原图点 M、点 N 的位置作为随意位置 N1； ③ 当 M 与点 H 重合时，将 CH 逆时针旋转 60°，得到 N2 位置； ④ 将 NO、N1、N2 三点连接起来得直线 PQ，可知点 N 在直线 PQ 上运动，则当 HN⊥PQ 时，HN 有最小值， 由题易知 HN 是△BCN2 的中位线，∴HN= 1 1 1 5 2 CN2= 2 CH= 4 AB= 4 . 例 2.已知等边三角形 ABC 的边长为 8，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ACQ，点 D 是 AC 边上的中点，连接 DQ，则 DQ 的最小值为____________ . 【思路分析】：点 D 是定点，点 Q 是动点，抓住动点 Q 运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 ① 初始位置：点 P 的初始位置就是点 Q 的初始位置，当点 P 与点 B 重合时，点 Q 与点 C 重合； ② 任意位置： 题目给的原图即是点 Q 的任意位置； ③ 结束（特殊）位置：终止位置：当点 P 与点 C 重合时，以 AC 边向右作等边三角形 ACE，点 Q 与点 E 重合；所 以点 Q 在线段 CE 上运动，如图 结论： 当 DQ⊥CE 时，DQ 最短。由 D 是 AC 中点可知 CD=4 ，由∠ ACQ=∠B=60° 可得∠ DQC=30°，则 CQ=2，由勾股定理可得 DQ=2 ❑ √3 例 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A′B′C，M 是 BC 的中点，P 是 A′B′的中点，连接 PM，若 BC＝2，∠BAC＝30°，则线段 PM 的最大值是　 　 【思路分析】：点 M 是定点，点 P 是动点，抓住动点 Q 运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 ① 初始位置：当 B`与 B 重合时，点 P 的初始位置就是 AB 的中点 P0 ； ② 任意位置： 题目给的原图即是点 P 的任意位置； ③ 结束（特殊）位置：终止位置：取旋转 90°这个特殊位置，点 P 位于点 P1 位置；将 C P1 连接，由于 CB=C P1 ，可知 P 在点以 C 为圆心，CB 为半径的圆上运动；如图。 结论： 当 P 在运动以 BC 的延长线上时，即 P 运动到 CB 直径上时，MP 有最大值，由于半径 CB=2,M 是中点， ∴PM 的最大值为 3 . 例 4. 如右图，已知∠MON=30°,B 为 OM 上一点，BA⊥ON 于 A，四边形 ABCD 为正方形，P 为射线 BM 上一动 点，连接 CP，将 CP 绕点 C 顺时针旋转 90°得 CE，连接 BE，若 AB=4,则 BE 的最小值为________ 【思路分析】：点 B 是定点，点 E 是动点，抓住动点 E 运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 ① 初始位置：当 P 与 B 重合时，点 E 的初始位置就是 CD 的延长线上位置 E1 ； ② 任意位置： 题目给的原图即是点 E 的任意位置； ③ 结束（特殊）位置：取 P 点在 DC 延长线与射线 BM 的交点这个特殊位置，点 E 位于点位置 E2 ；将 E1 E 2 连接，可知 E 点在直线 QR 上运动；如图。 结论： 设 QR 与 OM 交于点 G，由 C P1 = C E1 ，∠ P1 C E 1 =∠ E1 C E2 =90°， C P2 = C E2 可得△ P1 C P2 ≌△ E1 C E2 ，则∠ C P1 P2 =∠ CE 1 E2 ，△ C P1 P2 与△ G E 1 P2 构成“8 字模型”， 可得∠ P1 C P2 =∠ E1 G P2 =90°，即 OM⊥QR，当 E 与 G 重合时， 即 BE⊥QR 时，BE 有最小值，即 BG 的长，由 BC//ON，可得∠CBM=∠O=30°，由 BC=AB=4 可得 C P2 = 4 ❑√3 4 ❑√3 4 ❑√3 ❑ +4，在 Rt△BG E2 中，BG= 2+2 √ 3 , 即 BE 的最 ，∴C E2 = ，则 B E2 = 3 3 3 ❑ 小值为= 2+2 √ 3 . 例 5﹒如图，正方形 ABCD 中，BC=6，点 E 为 BC 的中点，点 P 为边 CD 上一动点，连接 AP，过点 P 作 AP 的垂 线交 BC 于点 M，N 为线段 AP 上一点，且 PN=PM，连接 MN，取 MN 的中点 H，连接 EH，则 EH 的最小值是 . 【解析】我们可以依照点 H 的运动轨迹来确定点 H 所在的运动线段是哪条？具体操作方法是： ① 点 H 运动初始位置的确定：当 P 点与 D 点重合时，M 与 C 重合，N 与 A 重合，MN 即是对角线 AC，则 H 的初 始位置在正方形对角线的交点上； ② 当点 P 在 DC 上的某一处时，H 的位置如原图所示； ③ 当 P 点与 C 点重合时，M、N 均与 C 重合，则 H 也与 C 重合。把三个位置的点 H 连接起来， 不难发现，H 点在正方形对角线 OC 上运动，则当 EH⊥OC 时，EH 有最小值，如图 1。 由正方形边长为 6，可得对角线 AC=6 ❑ √2 , 3 ❑√ 2 . 则 OB= 3 √ 2 ,由 EH 是中位线可得 EH 的最小值为 2 ❑ 例 6. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BCA=90°，AC=BC=4,P 是△ABC 的高 CD 上一个动点，以 B 点为旋 转中心，把线段 BP 逆时针旋转 45°得到 BP`，连接 DP`，则 DP`的最小值是_______ 【思路分析】：点 D 是定点，点 P`是动点，抓住动点 P`运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 ① 初始位置：当 P 与 B 重合时，点 P`的初始位置就是在 AB 边上的位置 P0 ； ② 任意位置： 题目给的原图即是点 P`的任意位置； ③ 结束（特殊）位置：取 P 点与 D 点这个结束位置，点 P`位于点位置 P1 ；将 P0 P1 连接，可知 P`点在直线 EF 上运动，；如图。 结论： 设 EF 与 AC 交于点 G，作 DQ⊥EF，当 P`与 Q 重合时，DP`有最小值，即 DQ 的长，由△AG P0 是等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 △ AG P0 与 △ DQ P0 构 成 “ 8 字 模 型 ” ， 可 得 △ DQ P0 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 由 BC=CA=4 可 得 BA=4 ❑ √ 2−2 ❑ √2 ， 则 BD=2 ， 即 DP`的最小值为 2 ❑ √ 2−2 ❑ √2 ， 由 BC=B P0 =4 可 得 D P0 =4-2 ❑ √2 ， ∴ DQ=2 . 例 7.如图，正方形 ABCD 中，AB=4,点 E 为对角线 AC 上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 H 是 CD 上一 点，且 DH= 3 5 CD，连接 GH，则 GH 的最小值为_____________ 解析：求单一线段的最值问题，解题方法：三点确定动点运动轨迹法。 由题可知，H 是定点，G 是动点，且 G 随动点 E 的运动而运动，由 E 点来确定 G 点的运动轨迹。 ① 起始位置：当 E 点与 C 点重合时，如图 G 在 G 1 的位置； ② 任意位置：题目原图便是 G 点的任意位置； ③ 终点位置：当 E 点与 A 点重合时，如图 G 在 G 2 的位置,此时 G 2 与 C 点重合； 结论：连接 G 1 、G、C，则 G 点在 G 1 C 上运动，即在正方形 D G 1 F 1 C 的对角线上运动。作 H G 3 ⊥C 3 G1 于点 G3 ，当 G 点运动到 G3 位置时，GH 的长度最小，由 CD=AB=4，DH= 5 CD，可得 HC= 8 4 ❑√ 2 4 ❑√ 2 ,易知△HC G 3 是等腰直角三角形，则 H G3 = ,即 GH 的最小值为 . 5 5 5