22.3 实 际 问 题 与 二 次 函 数 2022 中考一轮复习 考点梳理 二次函数实际应用题的解题步骤 (1) 先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2) 研究自变量的取值范围； (3) 研究所得的函数； (4) 检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的 值； (5) 解决提出的实际问题 . 例题分析 题型一 二次函数的实际应用 例 1 ． (2020· 山西 ) 竖直上抛物体离地面的高度 h(m) 与运动时间 t(s) 之间的关系可以近似地用公式 h ＝－ 5t2 ＋ v0t ＋ h0 表示，其 中 h0(m) 是物体抛出时离地面的高度， v0(m/s) 是物体抛出时的速 度．某人将一个小球从距离地面 1.5 m 的高处以 20 m/s 的速度竖 2 h ＝－ 5t ＋ 直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 ( 　　 ) 20t ＋ C 1.5 ＝－ 5(t-2)2 ＋ 21.5 A ． 23.5 m B ． 22.5 m C ． 21.5 m D ． 20.5 m 例 2 ．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜 柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为 8 元 / 千克，投入市场销 售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 y( 千克 ) 与销售单价 x( 元 / 千克 ) 之间的函数关系如图所示． (1) 求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范 围； (2) 当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得 的利润最大？最大利润是多少？ (3) 某农户今年共采摘蜜柚 4 800 千克，该品种蜜 柚的保质期为 40 天，根据 (2) 中获得最大利润的 方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理 例 2 ．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困 户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收 获季节，已知该蜜柚的成本价为 8 元 / 千克，投入市场销售时，调查市场行 情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天 解： (1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b， 将 (10 ， 200) ， (15 ， 150) 代 入， 得：   销售量 y( 千克 ) 与销售单价 x( 元 / 千 克 ) 之间的函数关系如图所示． 解得：   (1) 求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ∴y 与 x 的函数关系式为 y ＝－ 10x ＋ 300(8≤x≤30) ； 例 2 ．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困 户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收 获季节，已知该蜜柚的成本价为 8 元 / 千克，投入市场销售时，调查市场行 情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天 销售量 y( 千克 ) 与销售单价 x( 元 / 千 克 ) 之间的函数关系如图所示． (2) 当该品种的蜜柚定价为多少时， 每天销售获得的利润最大？最大利 润是多少？ 解： (2) 设每天销售获得的利润为 w， 则 w ＝ (x － 8)y ＝ (x － 8) ( － 10x ＋ 300) ＝－ 10(x － 19)2 ＋ 1210 ， ∵8≤x≤30 ， ∴ 当 x ＝ 19 时， w 取得最大值，最大值为 1210 ； (3) 某农户今年共采摘蜜柚 4800 千克，该品种蜜柚的保 解： (3) 由 (2) 知，当获得最大利润时，定价为 19 元 / 千 克， 质期为 40 天，根据 (2) 中获 则每天的销售量为 y ＝－ 10×19 ＋ 300 ＝ 110 千克， 得最大利润的方式进行销售， ∵ 保质期为 40 天， 能否销售完这批蜜柚？请说明 理由． ∴ 总销售量为 40×110 ＝ 4400 ， 又∵ 4400 ＜ 4 800 ， ∴ 不能销售完这批蜜柚． 跟踪训练 1 ． (2021· 江西模拟 ) 某种食品的销售价格 y1 与销售月份 x 之间的关系如图①所示， 成本 y2 与销售月份 x 之间的关系如图②所示 ( 图①的图象是线段，图②的图象是部分 抛物线 ). (1) 已知 6 月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润 ( 利润＝售 价－成本 ) 是多少？ (2) 求出售这种食品的每千克利润 P 与销售月份 x 之间的函数关系式； (3) 哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由． 1 ． (2021· 江西模拟 ) 某种食品的销售价格 y1 与销售月份 x 之间的关系如图①所示， 成本 y2 与销售月份 x 之间的关系如图②所示 ( 图①的图象是线段，图②的图象是部分 抛物线 ). (1) 已知 6 月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润 ( 利润＝售 价－成本 ) 是多少？ 解： (1) 当 x ＝ 6 时， y1 ＝ 3 ， y2 ＝1， ∵y1 － y2 ＝ 3 － 1 ＝ 2， ∴6 月份出售这种食品每千克的利润是 2 元； 1 ． (2021· 江西模拟 ) 某种食品的销售价格 y1 与销售月份 x 之间的关系如图①所示， 成本 y2 与销售月份 x 之间的关系如图②所示 ( 图①的图象是线段，图②的图象是部分 抛物线 ). (2)设 求出售这种食品的每千克利润 (2) y1 ＝ mx ＋ n ， y2 ＝ a(x － 6)P2 与销售月份 x 之间的函数关系式； ＋1， 将 (3 ， 5) ， (6 ， 3) 代入 y1 ＝ mx ＋ n得，解得 ，   ∴y   1 ＝－ x ＋ 7. 将   (3 ， 4) 代入 y2 ＝ a(x － 6)2 ＋ 1 ，得 4 ＝ a(3 － 6)2 ＋ 1 ，解 得a＝ ， 2 2 ∴y ＝ (x － 6) ＋ 1 ＝ x － 4x ＋ 2   13 ， ∴P   ＝ y1 － y2 ＝ － x ＋ 7 － (x2 － 4x ＋ 13) ＝－ x2 ＋ x － 6； 1 ． (2021· 江西模拟 ) 某种食品的销售价格 y1 与销售月份 x 之间的关系如图①所示， 成本 y2 与销售月份 x 之间的关系如图②所示 ( 图①的图象是线段，图②的图象是部分 抛物线 ). (3) 哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由． 解： (3)P ＝－ x2 ＋ x － 6 ＝ － (x － 5)2 ＋ ，   ∵   － ＜0， ∴   当 x ＝ 5 时， P 取最大值，最大值为 ， ∴5   月份出售这种食品，每千克的利润最大，最大利润是元． 例题分析 题型二 二次函数的综合应用 例 3 ． (2020· 江西 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ， b ， c 是常数， a≠0) 的自变 量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： (1) 根据以上信息，可知抛物线开口向 ________ ，对称轴为x________ ＝1 ； 上 (2) 求抛物线的表达式及 m ， n 的值； (3) 请在图①中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点， OP 的中点为 P′ ，描出相 应的点 P′ ，再把相应的点 P′ 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ (4) 设直线 y ＝ m(m ＞－ 2) 与抛物线及 (3) 中的点 P′ 所在曲线都有两个交点，交点从左 到右依次为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ，请根据图象直接写出线段 A1A2 ， A3A4 之间的数量关系 ____________. 例 3 ． (2020· 江西 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ， b ， c 是常数， a≠0) 的自变 量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： (2) 求抛物线的表达式及 m ， n 的 值； 解： (2) 把 ( － 1 ， 0) ， (0 ，－ 3) ， (2 ，－ 3) 代入 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， 解得： 得：     ∴ 抛物线解析式为 y ＝ x2 － 2x － 3， 当 x ＝－ 2 时， m ＝ 5 ；当 x ＝ 1 时， n ＝－ 4 ； 例 3 ． (2020· 江西 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ， b ， c 是常数， a≠0) 的自变 量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： (3) 请在图①中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点， OP 的中点为 P′ ，描 出相应的点 P′ ，再把相应的点 P′ 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ 解： (3) 画出抛物线图象，如图①所示，描出 P′ 的轨迹，是一条抛物线，如备用图所 示， 题型二 二次函数的综合应用 例 3 ． (2020· 江西 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ， b ， c 是常数， a≠0) 的自变 量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表： (1) 根据以上信息，可知抛物线开口向 ________ ，对称轴为x________ ＝1 ； 上 (2) 求抛物线的表达式及 m ， n 的值； (3) 请在图①中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点， OP 的中点为 P′ ，描出相 应的点 P′ ，再把相应的点 P′ 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ (4) 设直线 y ＝ m(m ＞－ 2) 与抛物线及 (3) 中的点 P′ 所在曲线都有两个交点，交点从左 到右依次为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ，请根据图象直接写出线段 A1A2 ， A3A4A之间的数量关系 3A4 － A1A2 ＝ 1 _______________. 跟踪训练 2 ．已知抛物线 C1 ： y ＝ ax2 － 4ax － 5(a ＞ 0). (1) 当 a ＝ 1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴； (2)① 试说明无论 a 为何值，抛物线 C1 一定经过两个定点，并求出 这两个定点的坐标； ② 将抛物线 C1 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2 ，直接 写出 C2 的表达式； (3) 若 (2) 中抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2 ，求 a 的值． 2 ．已知抛物线 C1 ： y ＝ ax2 － 4ax － 5(a ＞ 0). (1) 当 a ＝ 1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对 称轴； 解： (1) 当 a ＝ 1 时，抛物线解析式为 y ＝ x2 － 4x － 5 ＝ (x － 2)2 － 9 ， ∴ 对称轴为 x ＝ 2 ； ∴ 当 y ＝ 0 时， x － 2 ＝ 3 或－ 3 ，即 x ＝－ 1 或5； ∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( － 1 ， 0) 或 (5 ， 0) ； 2 ．已知抛物线 C1 ： y