人教版 七年级数学下册 第 8 章 二元一次方程组 全章 整理与复习 复习目标 1. 复习二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组 的解的概念； 2. 掌握解二元一次方程组的基本思想，基本方法 . 正确地 选用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3. 能利用二元一次方程组解决实际问题； 4. 能构建本章知识结构图 . 本章知识结构图 核心概念 应用 二元一次方程 组 解方程组 考点一、二元一次方程与二元一次方程组 知识梳理 解析 下列方程中是二元一次方程的有① ③ . ① 2x-y=3 ； ② x+2=1 ；③ 2y=8-3x ； 二元一次方程的概念 ④ x-xy=10 ； ⑤ x+y+z=6       是二元一 次方程组 解析 二元一次方程组 的概念 针对训练 1 已知方程 x m 1 y 2m n2 次方程，则 m= 3 ， n= 0 解：由题意可列方程组 　　　　 ， 　　　　　 解得 �m  0 � �n  3 5 是关于 x ， y 的二元一 . 　　　　　　　　　　 �m  1  1 � �2m  n  2  1 知识梳理 考点二、二元一次方程与二元一次方程组的 解 关于 x 和 y 二元一次方程 ax-y=3 ， 若 x=2 ， y=1 是这个方程的解，则 a= 2 2a-1=3 . 解析 使方程两边 的值相等的 未知数的值 。 针对训练 �x  2 1. 已知 �y  1 � �ax  y  3 � 是关于 x ， y 的二元一次方程组 �by  8  3 x 的解，求 a 、 b 的 值． 【解析】解题关键是把方程组的解代入二元一次方程组中，转化为关于 a 、 b 的方程，即可求得 a ， b 的值． 解：把 代入方程组得 �x  2 � �y  1 解得 �a  2 � �b  2 �2a  1  3 � �b  8  3 �2 ， 算数平方根，绝对值都 是非负数 2. 若 2 x  y  3  3 x  2 y  8  0 　　　　　　　　　 �2 x  y  3  0 � �3x  2 y  8  0 则 x= ， y= . 　　　　　 知识梳理 考点三、解二元一次方程组 �2 x  y  3  0 解方程组：� �3 x  2 y  8  0 2x  y  3 � 解：整理得， � �3x  2 y  8 解 ： 2x – y = 3 3x + 2y = 8 ① ② 由①得 y = 2x-3 ③ ： 把③代入②得 ： 3x+2 （ 2x-3 ） = 8 3x +4x-6 =8 7x = 14 x=2 把 x = 2 代入③， y = 2×2-3 得 y =1 x=2 ∴ y=1 未知数系数为 1 或 1 时常用代入法 ① 解 2x – y = 3 ② ： 3x + 2y = 8 ②×2-① ×3 得： 7y=7 ①×2 得： 4x-2y=6 ③ ②+③ 得： 7x = 14 x=2 把 x = 2 代入①， 得 2×2-y=3 y=1 ∴ x=2 y=1 同一个未知数系数相等或者 互为相反数时常用加减法 �2 x  y  3 解方程组： � �2 y  8  3x 2x  y  3 � 解：整理得，� �3x  2 y  8 怎样求解三元一次方程 组呢？ 三元 二元 一元 针对训练 1. 方程组�x  y  1 .. � �3x  y  7 x  y 1 【分析】解：� � �x  2 � 的解为 �y  1 ① 3x  y  7 ② � . 　　　　　　　　　　　　　　 ， ①+② 得： 4x ＝ 8 ， 解得： x ＝ 2 ， 把 x ＝ 2 代入①得： y ＝ 1 ， �x  2 则方程组的解为 � ． �y  1 x2 故答案为：� ．　　　　　　　　　　　　　 � �y  1 针对训练 2. 解下列方程组： 2x-y=7 （1） x+2y=-4 x=2 y=-3 2x-7y=6 （ 2 ） y-2x=30 x=-18 y=-6 3. 若 2 x  y  3  3 x  2 y  8 0 【分 　　　　　　　　　　　　  2 x  y  3 0 ①  析】 　  3x  2 y  8 0 ② x= ， y= 求， 5x+y则的值． . . 。 。。 　　 ①+② 得 5 x  y 11 ： 　　 【点拨】在解题过程中考虑整体思想． 　　　　　 　　 　　　　　　　　 　　 　　 . 　　 知识梳理 考点四、二元一次方程组的应用 6y x+6 把一批书分给几个学生，如果每人分 6 本，那么还差 6 本，如果每个 学生分 5 本，那么还多 5 本，这些书有多少本？学生有多少人？ 5y x-5 【审题】 总本数相等 根据每人分 6 本，那么还差 6 本，如果每个学 生分 5 本，那么还多 5 本可列出方程组，求解 即可． 解：设书有 x 本，学生有 y 人． 由题意得 �6 y  x  6 � �5 y  x  5 解得 �x  60 � �y  11 答：设书有 60 本，学生有 11 人． 6 （ y1） x 把一批书分给几个学生，如果每人分 6 本，那么还差 6 本，如果每个 学生分 5 本，那么还多 5 本，这些书有多少本？学生有多少人？ 5(y+1 ) 总本数相等 x 根据每人分 6 本，那么还差 6 本，如果每个学 生分 5 本，那么还多 5 本可列出方程组，求解 即可． 解：设书有 x 本，学生有 y 人． 【审题】 由题意得 �6 y  x  6 � �5 y  x  5 解得 �x  60 � �y  11 （） 6 y 1  x � � �5( y  1)  x 答：设书有 60 本，学生有 11 人． 应用二元一次方程 组 解决实际问题 用解题步骤 针对训练 全国人民上下一心抗击新冠肺炎， 4 月 17 日武汉科技大学同济医学院向满洲里 市捐助了一批价值 1500 余万元的医疗物资。其中无创呼吸机 55 台，制氧机 50 台 已经于当日下午空运至满洲里西郊机场．某运输车队承担了这次运输任务，一次 性正好 ( 即所用货车恰好全部装满 ) 将这两种机器运往医疗物资调配中心，甲、 乙两种货车每辆车一次可以运走两种医疗物资的数量如下表所示： 类型 甲车 乙车 呼吸机 15 5 那么，需要甲、乙两种货车各多少辆？ 制氧机 14 4 类型 甲车 乙车 【审题】 x y 呼吸机 55 15 15x 5y 5 制氧机 50 14 14x 4y 4 1. 无创呼吸机 55 台，制氧机 50 台 2. 一次性正好 ( 即所用货车恰好全部装满 ) 问题：需要甲、乙两种货车各多少辆？ 解：设需要甲种货车 x 辆，乙种货车 y 辆，由题意 得： 15 x  5 y 55  14 x  4 y 50 �x  3 � �y  2 答：需要甲种货车 4 辆，乙种货车 6 辆． 归纳总结 实际问题 设未知数、列方程组 实际问题 的答案 双检验 解方程组 建模 数学问题 （二元或三元一次方程 组） 代入法 加减法 （消 元） 数学问题的解 （二元或三元一次方程组的 解）