2022 年春苏科版九年级数学中考复习《四边形》常考热点综合练习题（附答案） 一．选择题 1．如图，顺次连接任意四边形 ABCD 各边中点，所得的四边形 EFGH 是中点四边形．下 列四个叙述：①中点四边形 EFGH 一定是平行四边形；②当四边形 ABCD 是矩形时，中 点四边形 EFGH 也是矩形；③当四边形 ABCD 的中点四边形 EFGH 是菱形时，则四边形 ABCD 也是菱形；④当四边形 ABCD 是正方形时，中点四边形 EFGH 也是正方形．其中 正确结论的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图，已知四边形 ABCD 中，E 是 CD 边上的一个动点， F 是 AD 边上的一个定点 ， G，H 分别是 EF，EB 的中点，当点 E 在 CD 上从 C 向 D 逐渐移动时，下列结论成立的 是（　　） A．线段 GH 的长逐渐增大 B．线段 GH 的长逐渐减少 C．线段 GH 的长保持不变 D．线段 GH 的长先增大后减小 3．如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE、BE、DE．过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于 点 P ． 若 AE ＝ AP ＝ 2 ， PB ＝ 2 ． 下 列 结 论 ： ① PD ＝ PB ； ② EB⊥ED ； ③ △APD≌△AEB；④点 B 到直线 AE 的距离为 2 结论的序号是（　　） ；⑤ S△APB+S△APD＝2+4 ．其中正确 A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．①③⑤ 4．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线一定互相垂直 5．如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 AD≠CD，过点 O 作 OM⊥AC，交 AD 于点 M．如果△CDM 的周长为 8，那么平行四边形 ABCD 的周长是（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F， 动点 P 从点 B 出发，沿着 BC 匀速向终点 C 运动，则线段 EF 的值大小变化情况是（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少 7．如图，△ABC 中，AC 的中垂线交 AC、AB 于点 D、F，BE⊥DF 交 DF 延长线于点 E， 若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形 BCDE 的面积是（　　） A．2 B．2 C．3 D．3 8．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接 BD，把△ABD 沿 BD 翻折，得到△A′BD，连接 A′C，若 AB＝3，∠ABD＝60°，则点 D 到直线 A′C 的距离 为（　　） A． B． C． D． 9．如图，D，E 分别是 AB，AC 上的中点，F 是 DE 上的一点，且∠AFB＝90°，若 AB＝ 6，BC＝8，则 EF 的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．海伦﹣﹣秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角 形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为 a、b、c，记 ，那么三角形的面积为：S＝ ，在 △ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a、b、c，若 a＝5、b＝6、c＝7，则△ABC 的面积 S 为（　　） A．6 B．30 C．6 D．45 11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 的边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为（　　）cm2． A．3cm2 B．4cm2 C．7cm2 D．49cm2 12．如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 的中点，过点 O 的直线分别与 AB、CD 交于点 E、F， 连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论： ① FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形 EBFD 是菱形；④ MB＝2 ．其中正确结论 的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二．填空题 13．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，且点 P 到点 A、B、C 的距离分别为 2 、1、 ，则正方形 ABCD 的面积为　 　． 14．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为 2，最短 的边长为 1，则图中阴影部分的面积为　 　． 15．如图，菱形 ABCD 的面积为 ，∠A＝120°，点 M，N，P 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PM+PN 的最小值为　 　． 16．如图，已知 E 点在正方形 ABCD 的 BC 边的延长线上，且 CE＝AC，AE 与 CD 相交于 点 F，则∠AFC＝　 　． 17．如图，两个正方形边长分别为 2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　 　． 18．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝　 　． 19．如图，已知正方形 ABCD 中，AD＝3，∠DAE＝30°，点 F 为 AE 的中点，过点 F 作直 线分别与 AD、BC 相交于点 M、N，若 MN＝AE，则 AM 的长等于　 　． 20．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，顶点 B、C 在 x 轴 上，且位于 y 轴两侧，OA＝ ，OB＝1，则对角线 BD 的长为　 　． 21．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△DCE，则∠AEC 的度数是　 　． 22．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB ＝ S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为　 　． 23．如图，四边形 ABCD 是正方形，P 在 CD 上，已知△ADP≌△ABP′，AB＝6，DP＝2， 求 PP′＝　 　． 三．解答题 24．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2cm，BC＝4cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到 点 A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止．点 P、Q 的速度 都是 0.5cm/s，连接 PQ、AQ、CP，设点 P、Q 运动的时间为 ts． （1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形； （2）当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形； （3）分别求出（2）中菱形 AQCP 的周长和面积． 25．如图 1，四边形 ABCD 中，AC⊥BD，我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做对垂四 边形． （1）概念理解：如图 2，已知四边形 ABCD 是菱形，请问四边形 ABCD 是对垂四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图 1，有人探索发现对垂四边形 ABCD 的两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间满足数量关系：AD2+BC2＝AB2+CD2，请你证明这个结论； （3）问题解决：如图 3，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE，已知 AC＝3，AB＝4，求 GE 的长． 26．在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，以 C 为底角顶点作等腰 Rt△CED，使∠CED＝90°， 连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF． （1）如图 1，当点 E 在 AC 边上（不与点 A、C 重合），且 D 在△ABC 外部时，求证： △AEF 是等腰直角三角形； （2）如图 2，将图 1 中△CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 落在线段 BC 上时，连接 AE，求证：AF＝ AE； （3）如图 3，将△CED 绕点 C 继续逆时针旋转，当平行四边形 ABFD 为菱形，且 △CED 在△ABC 的下方时，若 AB＝ ，CE＝ ，求线段 AE 的长． 27．四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥DE，交射 线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）若 AB＝4，CE＝2 ，求 CG 的长度； （3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 28．如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c 分别是 Rt△ABC 和 Rt△BED 的各边 长，显然 AE＝ c，我们把关于 x 的一元二次方程 ax2+ cx+b＝0 称为“青竹方程”．请 解决下列问题： （1）在方程① x+1＝0，② 3x2+5x+4＝0 中，是“青竹方程”的有　 （填序号） （2）求证：关于 x 的“青竹方程”ax2+ cx+b＝0 必有实数根； 　； （3）若 x＝﹣1 是“青竹方程”ax2+ cx+b＝0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 9 ，求△ABC 的面积． 29．如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BD＝4，E、F 分别是 AD、CD 上的动点，且 AE ＝DF，连接 BE、BF． （1）试探究 BE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论； （2）求四边形 BEDF 的面积． 30 ． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， A （ 0 ， 4 ） ， B （ 4 ， 4 ） ， C （ 4 ， 0 ） ， 连 接 OA，AB，BC，OC． （1）如图 1，求证：四边形 OABC 为正方形； （2）如图 2，若点 D 是 OC 的中点，连接 AD，作 DE⊥AD 于点 D，且 DE＝AD，点 E 在点 D 的右侧，连接 CE，求证：CE＝ OD； （3）如图 3，若点 D 是 x 轴上一动点，作 DE⊥AD 于点 D，且 DE＝AD，点 E 在点 D 的 右侧，求 BE 的最小值． 31．如图，四边形 ABCO 是菱形，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴建立平面直角 坐标系．若点 A 的坐标为（﹣5，12），直线 AC 与 y 轴相交于点 D，连接 BD． （1）求菱形 ABCO 的边长； （2）证明△DCB 为直角三角形； （3）直线 BD 上是否存在一点 P 使得△BCP 的面积与△BCA 的面积相等？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说