扬州市梅岭中学教育集团 2021-2022 学年第一学期中考试试卷 初二年级 数学学科 一．选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点 E，F 在 AC 上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个 条件是（　　） A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条 边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC 三条中线的交点 B．△ABC 三边的垂直平分线的交点 C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点 4．如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B．下列结论中不一定成立 的是（　　） A．PA＝PB B．PO 平分∠APB C．AB 垂直平分 OP D．OA＝OB 5．已知等腰三角形的周长为 19，一边长为 8，则此等腰三角形的底边长为（　　） A．3 B．8 C．3 或 8 D．8 或 5.5 6．如图，在△ABC 中，∠B＝50°，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点 B′恰好落在 BC 边上，则∠CB′C′的度数为（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 7．如图，长方形纸片 ABCD 中，已知 AD＝16，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF＝6，则 AB 的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．△ABC 中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过 C 作∠BAC 的角平分线的垂线，垂足为 D，连接 BD，CD，则 S△BDC 的最大值为（　　） A．10 B．15 C．12 D．14 二．填空题（每题 3 分，共 30 分） 9．室内墙壁上挂一平面镜，明敏在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图，则这时的实际时 间是 　 　． 10．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形 若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 5、8、3、5，则最大正方形 E 的面积是　 　． 11．如图，正方形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥EB 于 E，CF⊥BF 于 F，AE＝ 5，CF＝7，则 AF 的长为　 　． 12．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，若∠B＝90°，则∠BCD 的 度数为　 　． 13．如图，点 P 为∠AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点．若∠AOB＝ 30°，则∠E+∠F＝　 　°． 14．如图，将直角三角形纸片 ABC 折叠，恰好使直角顶点 C 落在斜边 AB 的中点 D 的位置， EF 是折痕，已知 DE＝3，DF＝4，则 AB＝　 　． 15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，E 在边 BC 上且 AE＝3，∠BAE＝90°，则 CE 的长为 ． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，点 D 是 BC 上一点，AD＝BD，若 AB＝20，BD＝ 6，试求 CD= 17．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上． 下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③ AE+AC＝CD；④△ABD 是直角三 角形．其中正确的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 18．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角 形．若△ABC 是特异三角形，∠A＝36°，∠B 为钝角，则符合条件的∠B 有 个． 三．解答题（19-22 每题 8 分，23-26 每题 10 分，27-28 每题 12 分，共 96 分） 19．已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 上一点，点 E、F 分别在 AB、AC 上，BD ＝CF，CD＝BE，G 为 EF 的中点．求证：DG⊥EF． 20．如图，已知 AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，且 BC＝CD， 求证：△BCE≌△DCF； 21．如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点 G 是 CE 的中点，DG⊥CE，点 G 为垂足． （1）求证：DC＝BE； （2）若∠AEC＝66°，求∠BCE 的度数． 22．如图，由 4 个小正方形组成的田字格，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点，在田字格 上能画出与△ABC 成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形要求四个图互不相同． 23．在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为 格点），△ABC 的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． （1）在图中画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； （2）在图中找一点 O，使 OA＝OB＝OC； （3）在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB 的长最短． 24．如图是一副秋千架，图 1 是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面 0.5m（踏 板厚度忽略不计），图 2 是从侧面看，当秋千踏板荡起至点 B 位置时，点 B 离地面垂直 高度 BC 为 1m，离秋千支柱 AD 的水平距离 BE 为 1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千 支柱 AD 的高． 25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以 灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积 法”来证明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF＝EC＝b﹣a． ∵S 四边形 ADCB＝S△ACD+S△ABC＝ b2+ ab． 又∵S 四边形 ADCB＝S△ADB+S△DCB＝ c2+ a（b﹣a） ∴ b2+ ab＝ c2+ a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中∠DAB＝90°． 求证：a2+b2＝c2 证明：连接　 　 ∵S 五边形 ACBED＝　 又∵S 五边形 ACBED＝　 ∴　 　 　 　 ∴a2+b2＝c2． 26．如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 OM 与边 AC 的垂直平分线 ON 交于点 O，这 两条垂直平分线分别交 BC 于点 D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE 的度数； （2）已知△ADE 的周长 7cm，分别连接 OA、OB、OC，若△OBC 的周长为 15cm，求 OA 的长． 27．已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CD 为 AB 边上的高．动点 P 从点 A 出发，沿着△ABC 的三条边逆时针走一圈回到 A 点，速度为 2cm/s，设运动时间 为 t． （1）求 CD 的长； （2）当 P 在 AB 边上运动，t 为何值时，△ACP 为等腰三角形？ （3）若 M 为 BC 上一动点，N 为 AB 上一动点，是否存在 M，N 使得 AM+MN 的值最小． 如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 28．定义：如图 1，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边 的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点． （1）如图 1，已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，且线段 BN 是线段 AM、MN 和 NB 中最长的，若 AM＝2.5cm，MN＝6cm，则线段 BN 的长为　 　cm； （2）如图 2，已知点 M 在线段 AB 上，且 AM＝4cm，BM＝8cm，点 N 在 BM 上，且 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，求线段 BN 的长； （3）如图 3，△ABC 中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点 M、N 在斜边 AB 上，且∠MCN＝ 45°，求证：点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点．