人教版八年级数学下册 第 18 章 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第 3 课时 学习目标 1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理 . 2. 通过探索，猜想，证明三角形的中位线定理，进一步发 展推理论证的能力 . 新识讲解 请同学们按要求画图： 在任意△ ABC 中，取 AB 、 AC 边中点 D 、 E ，连接 DE ． D E 定义：像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位 线． 合作探究 问题 1 ：一个三角形有几条中位线？ D 三条 E F 问题 2 ：三角形中位线与三角形中线有什么区别？ 端点不同 D E D 合作探究 问题 3 ：如图， DE 是△ ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？ 分析： 猜想： D E 两条线段的关系 DE 与 BC 的关系 位置关系 DE∥BC 1 数量关系 ？ DE  BC 2 问题 4 ： 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的 结论？并用文字表述这一结论． 合作探究 猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半． 问题 5 ：如何证明你的猜想？ 已知，如图， D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 AC 的中点 . 求证： DE∥BC ， 1 DE  BC 2 ． E 证明： 延长 DE 到 F ，使 EF=DE连接 ． AF 、 CF 、 DC ． ∵AE=EC ， DE=EF ， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形． ∴CF // AD ． ∴CF // BD ． ∴ 四边形 BCFD 是平行四边形． ∴DF // BC ． 1 又 DE  DF 2 ， 1 ∴ DE∥BC ， DE  BC 2 ． D E F 新知讲解 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 ． 符号语言： 在△ ABC 中，若 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点， 1 则 DE∥BC ， DE= BC ． 2 D E 典例分析 例：在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点 . 求证：四边形 EFGH 是平行四边形 . 证明：连接 AC ，如图所示 . ∵ 点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中 点， 1 2 ∴EF∥AC ， EF= AC. 1 2 同理，可得出： HG∥AC ， HG= AC ， ∴EF∥HG ， EF=HG ， 针对训练 1. 如图，△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中 5cm ，则 DE=______. 点， BC=10cm 2. 如图， △ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中 点，∠ A=50° ，∠ B=70°60° ，则∠ AED=_____. A D B E C 3. 如图，在△ ABC 中，∠ C=90° ， AC=8 ， CB=6 ， D ， E ， F 分 别是 BC ， AC ， AB 的中点，则四边形 AEDF 18 的周长为 ________ ； Rt△ABC 的中位线分别是 ___________ ；斜边上的中线是 _______ ， DE ， DF CF 5 其长为 ______. A F E C D B 4. 在△ ABC 中， D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点 . 以这 些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？ A 解： 3 个 . 平行四边形 DFCE, 平行四边形 DFEB, 平行四边形 DEFA. D� B  E  F C 5. 已知：如图所示，在△ ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的中点，连接 DE ， AF. 求证：线段 DE 、 AF 互相平分． 证明：连接 DF 、 EF ， ∵ 点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点，点 F 是 BC 的 中点， ∴DF∥AE ， EF∥AD ， ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形， 6. 如图， A 、 B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC 和 BC ，怎样量出 A 、 B 两点间的距离？根据是什么？ M N 解：分别找出 AC 、 BC 中点 M 、 N， 根据是三角形中位线定理． 量出 M 、 N 两点间距离，则 能力提升 如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 四边形问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 感受中考 1. （ 2 分 ） （ 2021• 青 海 17/25 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D ， E ， F 分 别 是 边 AB ， BC ， CA 的中点，若△ DEF 的周长为 10 ，则△ ABC 的周长为 ． 【 分 析 】 先 根 据 三 角 形 中 位 线 的 性 质 得 ： AB ＝ 2EF ， BC ＝ 2DF ， AC ＝ 2DE ， 根 据 周 长 得 ： EF+DE+DF ＝ 10 ， 所 以 2EF+2DE+2DF ＝ 20 ， 即 AB+BC+AC ＝ 20 ． 【解答】解：∵点 D ， E ， F 分别是△ ABC 的 AB ， BC ， CA 边 的中点， ∴EF 、1DE 、 DF 为△ 1 ABC 的中位线， 1    2 2 2 ∴EF AB ， DF BC ， DE AC ， ∴AB ＝ 2EF ， BC ＝ 2DF ， AC ＝ 2DE ， ∵△DEF 的周长为 10 ， ∴EF+DE+DF ＝ 10 ， ∴2EF+2DE+2DF ＝ 20 ， ∴AB+BC+AC ＝ 20 ， ∴△ABC 的周长为 20 ． 故答案为： 20 ． 感受中考 2. （ 4 分）（ 2021• 重庆 B 卷 17/26 ）如图，△ ABC 中，点 D 为边 BC 的中点， 连接 AD ，将△ ADC 沿直线 AD 翻折至△ ABC 所在平面内，得△ ADC ＇，连 接 CC ＇，分别与边 AB 交于点 E ，与 AD 交于点 O ．若 AE=BE ， BC ＇ =2 ， 则 AD 的长为　 3 　． 【解答】解：由题意可得， △DCA ≌△DC ＇ A ， OC= OC ＇，∠ COD=∠C ＇ OD=90° ， ∴ 点 O 为 CC ＇的中点， ∵ 点 D 为 BC 的中点， ∴OD 是△ BCC ＇的中位线， ∴ OD  1 BC � ， OD∥BC ＇， 2 ∴∠COD=∠EC ＇ B=90° ， ∵AE=BE ， BC ＇ =2 ， ∴OD=1 ， 在△ EC ＇ B 和△ EOA 中， ТEC �B � � ТC�EB � �BE  AE � EOA OEA ， ∴△EC ＇ B≌△EOA （ AAS ）， ∴BC ＇ =AO ， ∴AO=2 ， ∴AD=AO + OD=2+1=3 ． 故答案为： 3 ．