专题 5.34 二元一次方程组应用题分类专题（专项练习） 类型一、年龄问题 1．师生对话，师：我像你这么大的时候，你才 1 岁，你到我这样大的时候，我已经 40 岁了，问老师和学生现在各几岁？ 2．一名 34 岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 3．小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为 120 岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多 12 岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多 少？ 类型二、数字问题 4．小明和小亮用两个正整数做加法游戏．小明在一个加数前面多写了一个 1，得到的 和为 137；小亮在另一个加数的后面多写了一个 1，得到的和为 227．求原来的两个 加数分别是多少？ 5．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h 后，看到 里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过 1h， 看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个 0 的三位数．这 3 块里程碑上的数各是多少？ 6．阅读材料并完成题目： （材料一）我们可以将任意两位数记为 字，且 a �0 ），显然 ab  10a  b ab （其中 a，b 分别表示该数的十位数字和个位数 ． （材料二）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 0，组成一个新的 三位数，我们称这个三位数为 N 的“惟勤数”，如 36 的“惟勤数”为 306 若将一个两位正整数 N 减 5 后得到一个新数，我称这个新数为 N 的“惟真数”，如 36 的“惟真数”为 31． （1）76 的“惟勤数”是_________，“惟真数”是_________； （2）求证：对任意一个两位正整数 （3）有一个两位数 xy ab ，其“惟勤数”与“惟真数”之差能被 5 整除； ，其“惟勤数”与“惟真数”之和为 439，其“惟真数”的各位数字之和为 10，请通过列方程求这个两位数． 类型三、和差倍分问题 6．某单位组织了 200 人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的 2 倍少 10 人．到两地参加旅游的人数各是多少？ 8．某公司准备安装完成 5820 辆的共享单车投入市场．由于抽调不出足够的熟练工人，公 司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1 名熟练工人和 3 名新工人每天共安装 36 辆共 享单车；2 名熟练工人每天装的共享单车数与 3 名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）若公司原有熟练工 m 人，现招聘 n 名新工人（ m  n ），使得最后能刚好一个月（30 天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占 3%，求 n 的值． 9．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批 A，B 两种型号的新能源汽车，据了解， 3 辆 A 型汽车和 4 辆 B 型汽车的进价共计 115 万元；4 辆 A 型汽车和 2 辆 B 型汽车的进价共 计 120 万元． （1）求 A，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； （2）该公司计划恰好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购 买），并使得购进的 B 种型号的新能源汽车数量多于 A 种型号的新能源汽车数量，请试写 出该公司的采购方案． 类型四、古代问题 10．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五， 直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值 19 两银子；2 头牛、 5 只羊，值 16 两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两 个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用 20 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请 问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 11．《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹 算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中 国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳 四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木 条，绳子剩余 4.5 尺，将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，向木条长多少尺？” 12．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五， 直金十六两．”其译文是：“5 头牛、2 只羊，共值 19 两银子；2 头牛、5 只羊，共值 16 两银 子．” （1）求 1 头牛、1 只羊共值多少两银子？ 以下是小慧同学的解答（请你补充完整）： 解：设 1 头牛值 x 两银子，1 只羊值 y 两银子，根据题意，可列出方程组： �__________ ① � �__________ ② ①+②，得______________， ∴ x y  ______________． 小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种 解题思想就是我们通常所说的“整体思想”． （2）运用“整体思想”尝试解决以下问题； 对于实数 x，y，定义新运算； x※ y  ax  by  1 ，其中 a，b 是常数． 5  4 2 3  2 ，求1※1 的值． 已知 3※，※ 类 型 五 、 分 配 问 题 13．为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运输 1000 箱物资；5 辆大货车与 2 辆小货车一次可以运输 1300 箱物资． （1）求 1 辆大货车和 1 辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？ （2）该企业计划用两种货车共 12 辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用 500 元，每辆 小货车一次需费用 300 元，若一次运输物资不少于 2200 箱，且总费用小于 5600 元，请你 列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？ 14．某工厂准备用图甲所示的 A 型正方形板材和 B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式 和横式两种无盖箱子． （1）若现有 A 型板材 150 张， B 型板材 300 张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能 切割板材，则可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？ （2）若该工厂准备用不超过 24000 元资金去购买 A 、 B 两种型号板材，制作竖式、横式箱 子共 100 个．已知 A 型板材每张 20 元， B 型板材每张 60 元，问最多可以制作竖式箱子多 少个？ 15．今年 3 月，德宏瑞丽受疫情影响，采取了“封城措施”．封城期间，某公司安排大、小 货车共 20 辆，分别从 A、B 两地运送 320 吨物资到德宏瑞丽，支援瑞丽抗击疫情，每辆大 货车装 25 吨物资，每辆小货车装 10 吨物资，这 20 辆货车恰好装完这批物资，已知这两种 货车的运费如下表： 目的 地 A 地（元/辆） B 地（元/辆） 900 1000 500 700 车型 大货 车 小货 车 要安排上述装好物资的 20 辆货车中的 10 辆从 A 地出发，其余从 B 地出发． （1）这 20 辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ （2）设从 A 地出发的大货车有 x 辆（大货车不少于 5 辆），这 20 辆货车的总运费为 y 元， 求总运费 y 的最小值． 类型六、销售利润问题 16．小明去某超市为班级购买一些普通洗手液和免洗洗手液．已知购买 1 瓶普通洗手液和 1 瓶免洗洗手液要花费 30 元， 买 3 瓶普通洗手液和 2 瓶免洗洗手液要花费 70 元． （1）求两种洗手液的单价． （2）小明现有 200 元钱，通过计算说明小明能否买到 10 瓶普通洗手液和 6 瓶免洗洗手液？ （3）一段时间后，由于该超市促销，所有商品一律打八折销售，所以小明班级计划用不超 过 1000 元的费用再购买两种洗手液共 100 瓶，求最多能购买多少瓶免洗洗手液？ 17．“海上生明月，天涯共此时”，中秋节是我国的传统佳节，这一天，阖家团圆，同赏明 月，共品月饼．8 月份，某副食超市销售“稻香村”和“嘉华”两个品牌的月饼一共 240 个，每 个“稻香村”月饼的售价为 12 元，每个“嘉华”月饼的售价为 10 元，这两种月饼的销售额之和 为 2700 元． （1）8 月份卖出“稻香村”月饼、“嘉华”月饼各多少个？ （2）9 月份，月饼大量上市，受此影响，该副食超市“稻香村”月饼的售价比 8 月份降低了 5 a %，销售量在八月份的基础上增加了 4a%；“嘉华”月饼的售价比 8 月份降低了 a%，销售 3 量在八月份的基础上增加了 10a%，结果这两种月饼的总销售额比 8 月份增加了 34 a %，求 9 a 的值． 18．小明同学三次到某超市购买 A、B 两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及 消费金额如下表： 类别 购买 A 商品数量 购买 B 商品数量 次数 （件） （件） 第一次 4 5 320 第二次 2 6 300 第三次 5 7 258 消费金额（元） 解答下列问题： （1）第　　次购买有折扣； （2）求 A、B 两种商品的原价； （3）若购买 A、B 两种商品的折扣数相同，求折扣数； （4）小明同学再次购买 A、B 两种商品共 10 件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不 超过 200 元，求至少购买 A 商品多少件． 类型七、工程问题 19．某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费．已知甲 师傅建造 2m2 的费用与乙师傅建造 3m2 的费用总和为 440 元，甲师傅建造 3m2 的费用与乙师 傅建造 2m2 的费用总和为 460 元． （1）分别求出甲、乙两位师傅建造 1m2 养鸡场的费用； （2）若乙师傅计划用总长度为 24 米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场 （如图），已知墙的长为 9 米，则养鸡场的宽 AB 为多少时，建造费用最多？最多为多少元？ 20．某高速铁路一路段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与其中一项工程建设，甲队 1 单独施工 30 天，恰好完成了该项工程的 3 ，若这时乙队加入，则两队还需同时施工 15 天， 才能完成该项工程．（请用方程或不等式的知识解决以下问题） （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过 36 天，则乙队至少还需施工多少天才