强化训练三：导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立） 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 1．（2021·北京八十中高二期中）已知函数 f ( x)  ( x  2)e x  a( x  1) 2 . （Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性； （Ⅱ）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围. 2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中（理））已知函数 f ( x)  ln x  ax 2  (2a  1) x （1）讨论 f ( x) 的单调性； 3 （2）当 a  0 时，证明 f ( x) � 4a  2 . 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 3．（2021·北京一七一中高二月考）已知 (1)讨论 (2)当 f  x f  x f  x   ln x  a  1  x  . 的单调性； 有最大值，且最大值大于 2a  2 时，求 a 的取值范围. 1 4．（2019·福建三明·高二期末）已知函数 f（x）＝xlnx  2 x2﹣ax+1． （1）设 g（x）＝f′（x），求 g（x）的单调区间； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，求证：x1+x2＞2． 题型三、利用导数研究恒成立问题 5．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））已知函数 f  x   1  alnx  2  a �R  ， x . g x  ( ) 1  x2  x ． x Ⅰ 讨论函数 f  x 在定义域上的单调性； Ⅱ 当 a  3 时，求证： ( ) f  x  �g  x  恒成立． 6．（2019·河北·沧县中学高二期末（文））已知函数 f ( x)  a ln x  1  2 x ，且曲线 y  f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处 x 的切线与直线 y  2 x 平行. （1）求函数 f ( x) 的单调区间； （2）若关于 的不等式 f ( x) �2 x  x m 恒成立，求实数 的取值范围. m x 题型四、利用导数研究不等式问题 (1)e x 1  f (0) x  7.已知函数满足 f ( x)  f � 1 2 x 2 ； （1）求 f ( x) 的解析式及单调区间； 1 2 （2）若 f ( x) �2 x  ax  b ，求 (a  1)b 的最大值. 8．（2020·湖南·长沙县第九中学高二月考）设函数 f ( x)  ln x  m , m �R . x （1）当 m  e （ e 为自然对数的底数）时，求 f ( x) 的最小值； x （2）讨论函数 g ( x )  f '( x )  3 零点的个数； （3）若对任意 b  a  0, f (b)  f (a )  1 恒成立，求 的取值范围. m ba 专题强化训练 一、单选题 7．（2021·广东·汕头市东方中学高二期中）已知函数 f ( x) 满足满足 9．（2019·福建·莆田一中高二期中（文））已知 f  x   2 x  cos x ， x �R ，若 f  1  t   f  1  2t  �0 成立， 则实数 t 的取值范围是 � 2� 0, � � A． � 3 � � 2� 0, B． � � 3� � C． 2 �3 �  �, 0  U � � , �� 10．（2021·广西河池·高二月考（理））若函数 f  x   lnx  � D． 2 � 3� � 0， �  �, 0 U � � 1  a 在区间  1, e  上只有一个零点，则常数 的 a x 取值范围为（ ） A． a �1 B． a  e 11．（2021·全国·高二课时练习）若函数 1 C．1  a   1 e f  x   x 3  x 2  x  2m 1 D．  a  1 e 在区间  0, 2 上的最大值是 4，则 m 的值为( ) A．3 B．1 C．2 D． 1 12．（2021·全国·高二课时练习）已知函数 一个最值点，则实数 a 的取值范围是( A． C． f  x   ae x  x 2   2a  1 x  2, 1 是（ 在区间  0, ln 2  上恰有 x � 1,1 B．  1,0  D．  �, 0  U  0,1 时，不等式 mx 3  x 2  4 x  3 �0 恒成立，则实数 m 的取值范围 ） A．  5, 3 9� � 6,  � � 8� B． � 14．（2021·全国·高二单元测试）函数 f ( x)  ln x 2 1 |x| 的大致图象为（ ） B． C． D． 15．（2021·全国·高二）已知函数 f  x    �,1 B．  �,1 D．  4, 3 C．  6, 2 A． A． f  x )．  �, 1 13．（2021·全国·高二课时练习）当 ，若函数 ax  1 在  1,1 上为减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） x 1 C．  �, 1 16．（2021·江苏·高二课时练习）已知定义在 R 上的函数 D． f ( x)  �, 1 的导函数为 f�  x ，且满足 f�  x   f ( x)  0 ， f (2022)  e e A． 6063 2022 �1 � f � ln x � 4 x  0 ，则不等式 �4 � 的解集为（ ） , �  0, e  2022 B． C． e 8088 17．（2021·广东实验中学高二月考）“ m  4 ”是“函数 , �  0, e  8088 D． f  x   2 x 2  mx  ln x A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2021·全国·高二课时练习）函数 y  (�,1) A． B． A． C． 在 (1, 2) (�,1] C． (1, �) D． 上单调递增”的（ ） [1, �) f ( x )  ( x  3)e x  a(2 ln x  x  1) 在 (1, �) 上有两个极值点，且 a 上单调递增，则实数 的取值范围是 (e, �) B． (2e 2 , �) D． (e, 2e 2 ) (e, 2e2 ) U (2e 2 , �) 20．（2020·黑龙江·牡丹江一中高二月考（文））定义在 R 上函数 相等的实数 x1 , x2 � 0, � 有 f  x1   f  x2  x1  x2 0 f  2mx  lnx  3 �2 f  3  f  2mx  lnx  3 ln6 � �1 ,1  � 2 e 6 � � A． � 二、多选题  0, � 1 3 x  x 2  mx  2 是 上的单调函数，则 的范围是（ ） m 3 R 19．（2020·全国·高二课时练习）已知函数 f ( x) 在 ln3 � �1 ,1  � 2 e 6 � � B． � 在 f  x 满足 f  x  f  x 成立，若关于 x 的不等式 x � 1,3 上恒成立，则实数 m 的取值范围是 1 ln3 � � ,2 � e 3 � � C． � 1 ln6 � � ,2 � e 3 � � D． � ，且对任意的不 21．（2021·江苏·涟水县第一中学高二月考）对于函数 f ( x)  ln x x ，下列说法正确的有（ ） 1 A． f  x  在 x  e 处取得极大值 e B． C． f  x 有两不同零点 f  2   f  3 1 D．若 f ( x)  k  x 在 (0, �) 上恒成立，则 k  1 22．（2021·全国·高二课时练习）已知函数 确的是（ f ( x )  x ln x  x 2 1 e B． x0  1 e B．函数 是函数 C． f ( x )  2 x  0 0 0 23．（2021·全国·高二课时练习）关于函数 f  x   x0  2 x0 f ( x) 的极值点，以下几个结论中正 ） A． 0  x0  A． ， 是 f  x 2  ln x ，下列说法正确的是（ x 有且只有 1 个零点； C．存在正整数 k ，使得 D．对任意两个正实数 x1 f  x   kx ， x2 ，且 恒成立； x1 �x2 ，若 f  x1   f  x2  24．（2021·江苏·南京市宁海中学高二期中）关于函数 ） B．若函数 C．对任意 f  x a0 ） 的极小值点； y  f  x  x A．当 a  1 时， D． f ( x )  2 x  0 0 0 f  x 在 ， 在 x  0 处的切线方程为  π,π  yx 上恰有一个极值，则 a  0 f  x  �0 恒成立 ，则 x1  x2  4 f  x   ae x  cos x ， . x �  π,π  下列说法正确的是（ D．当 a  1 时， f  x 在   π,π  上恰有 2 个零点 25．（2021·江苏省外国语学校高二期中）已知函数 A． f  x 存在唯一极值点 B．存在实数 a ，使得 C．方程 f  x   1 x0 ，且 f  x   x   x  1 ln x x0 � 1, 2  f  a  2 f  x 与 g  x   kx 的图象有两个交点 26．（2021·河北·迁安三中（高中）高二期中）已知函数 f  x   C．当 a  f  x ）