对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析 2014 年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是： a b ab ab   ab 设 a, b  0, a �b, 则 2 ，其中 ln a  ln b 被称之为对数平均数. ln a  ln b 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入 地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数 f  x  1  x  0  的 图 象 ， 如 图 所 示 ， AP  BC  TU  KV ， MN  CD  x 轴 ， x � 1� � 1 �T � ab , 1 � �a  b 2 � , P� a, � , B  b, 0  , Q � b, �, � K� , � � 作 在 点 A  a, 0  , � a � f x   ab � � b� � � 2 a  b �处 的 切 线 分 别 与 AP, BQ 交于 E, F ，根据左图可知， ABQP 因为 S曲边梯形梯形 b >S 1 dx = ln b 所以 �x ln a > a ab S =� 又 曲边梯形 AUTP a ABFE = S矩形ABNM ， 2 ( b - a) , a +b ① 1 dx = ln ab - ln a ， x 1 1 = ( ln b - ln a ) = S曲边梯形 ABQP ， 2 2 � 1� 1 1 � 1 b- a 1 � S梯形梯形 = + ab - a = � = S � � AUTP � 2� � a 2 2 ab � ab ( ) ABCD ， 根据右图可知， 另外， S曲边梯形梯形 <S AUTP AUTP S矩形矩形 ABQX < S曲边梯形梯形 ABQP < S ，所以 ABQP <S ln b - ln a < ABYP b- a ab ， ② ，可得： � 1 1� 1 1� 1 + � ( b - a ) < ln b - ln a < � ( b - a) < ( b - a) , � � � b 2� a b� a ③ 综上，结合重要不等式可知： � 2 ( b - a) 1 b- a 1� 1 1� 1 < ln b - ln a < < � + � ( b - a) < ( b - a) < ( b - a) ， � � � b a +b a b� a ab 2 � b> 即 a +b b- a 2 > > ab > > a ( b > a > 0) 1 1 2 ln b - ln a . + a b ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对 数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 b> b- a > a ( a > 0) 的应用 ln b - ln a 例 1 （2014 年陕西）设函数 f (x )=ln(1+x) ， g ( x)  ( x) 是 xf � ( x) ，其中 f � f (x ) 的导 函数． （1）（2）（略） （3）设 n∈N + ，比较 g  1  g  2   L  g  n  与 n  f  n  的大小，并加以证明． 解析 （3）因为 所以 g  x  x 1 x ， g  1  g  2   L  g  n   1 2 n 1 � �1 1  L   n  �  L  � 2 3 n 1 n  1 �， �2 3 g 而 n  f  n   n  ln  n  1 ，因此，比较  1  g  2   L  g  n  与 n  f  n  的大小，即只需比 1 1 1 + +⋯+ 较 2 3 n+1 与 ln  n  1 的大小即可． 1 b- a b > ( b - a ) < ln b - ln a, 根据 b > a > 0 时， ln b - ln a ，即 b 1 < ln ( n +1) - ln n, 令 a = n, b = n +1, 则 n +1 1 所以 2 1 1  ln 2  ln1  ln 2 ，  ln 3  ln 2 ， L ,  ln(n  1)  ln n ， 3 n 1 1 1 1  L   ln  n  1 将以上各不等式左右两边相加得： 2 3 ， n 1 故 g  1  g  2   L  g  n   n  f  n  . 评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结 论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们 这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握． b- a 1 >a ln b - ln a < ( b - a ) , ，即 令 a = n, b = n +1, a 当 b > a > 0 时， ln b - ln a 1 1 1 1 ln ( n +1) - ln n < , ln ( n +1) <1 + + +L + . 则 n 可得： 2 3 n 例 2 （2012 年天津）已知函数 f  x   x  ln  x  a   a  0  的最小值为 0． n （1）（2）（略）（3）证明： 2 �2i  1  ln  2n  1  2  n �N * . i 1 2 2 2 2   L   ln  2n  1 解析 （3）易求 a  1 ，待证不等式等价于 3 5 7 ． 2n  1 1 b- a b > ( b - a ) < ln b - ln a, 根据 b > a > 0 时， ln b - ln a ，即 b 2 令 a = 2n - 1, b = 2n +1, 则 2 ( n +1) - 1 = 2 < ln ( 2n +1) - ln ( 2n - 1) , 2n +1 2 2 2 < ln 3 - ln1, < ln 5 - ln 3, < ln 7 - ln 5, L , 3 5 7 2 < ln ( 2n +1) - ln ( 2n - 1) , 2 ( n +1) - 1 将以上各不等式左右两边分别相加得： 2 2 2 2 2   L    ln  2n  1 ， 3 5 7 2 n  1 2n  1 n 2 2 �2i  1  ln  2n  1  2  2n  1  2 .得证. i 1 a2 +b2 b- a > ( b > a > 0) 的应用 2 ln b - ln a 2.2 例 3 设数列  an  a  的通项 n 1 ，其前 项的和为 n  n  1  1 n Sn ，证明： S n  ln  n  1 ． 2 ( b - a) a 2 + b2 b- a ln b ln a > 时， ，即 ， > 解析 根据 a 2 + b2 2 ln b - ln a b >a >0 令 b = n +1, a = n, 则 ln ( n +1) - ln n > > 2.3 2 n +( n +1) 2 2 2 2n + 2n + 2 2 > an ，易证 = 2 2n 2 + 2n +1 S n  ln  n  1 ． a +b b- a > ( b > a > 0) 的应用 2 ln b - ln a 1 例 4 设数列 1  an  的通项 an  1  2  3  L  1 n ，证明： an  ln  2n  1 ． 2( b - a) a +b b- a ln b ln a > > 解析 根据 b > a > 0 时， 2 a +b ， ln b - ln a ，即 令 b = 2 n +1, a = 2n - 1, 则 ln ( 2n +1) - ln ( 2n - 1) > 1 n ，易证 an  ln  2n  1 ． b- a 2 > ( b > a > 0) 1 1 2.4 ln b - ln a 的应用 + a b b f ( x ) = ax + + c ( a > 0) 例 5 （2010 年湖北） 已知函数 的图象在点 ( 1, f ( 1) ) 处的切线方程为 x y = x- 1 ． a （1）用 表示出 b, c ；（2）（略） 1 1 1 n 1 + + +L + > ln ( n +1) + ( n �1) . （3）证明： 2 3 n 2 ( n +1) 解析 （1） b = a - 1, c = 1- 2a ； b- a 2 > 1� 1 1� 1 1 + � ( b - a) ， （3）当 时， ln b - ln a � + ，即 ln b - ln a < � � � � � 2 a b� b >a >0 a b 1� 1 1 � � � ln n + 1 ln n < + , ( ) � � 令 a = n, b = n +1, 则 � � 2� n n +1� 所以 � 1� 1 1� 1� 1 1� + � ,L ln 2 - ln1 < � + � , ln 3 - ln 2 < � � � � � � � � 2� 1 2� 2� 2 3� ， 1� 1 1 � � ln ( n +1) - ln n < � + , � � � � 2� n n +1� 将以上各不等式左右两边分别相加得： 1 � 1 1 1 1� 1 ln ( n +1) < +� + + +L + � + � � � 2 ( n +1) , � 2 � 2 3 4 n� 即 1 1 1 1 1 1 ln ( n +1) <1 + + + +L + + - , 2 3 4 n 2 ( n +1) 2 1 1 1 n 1 + + +L + > ln ( n +1) + . 故 2 3 n 2 ( n +1) f  x 