基本不等式的应用 一、忽视基本不等式探求最值成立条件“正”而致错 y  a x  a  0, a �1 例 1 已知 是增函数，且 a 2  a  6  a �Z  ，求函数 f  x  x  a x 的值 域． 错解 易得 a  2 ， 2 x， 2 2 �2 2 x x x ，即 x  2 时等号成立． ，当且仅当 f  x  x  所以函数 f  x  x  f  x  x  a � 2 2, � x 的值域是 � ．  剖析 本题忽视了自变量 x 的范围，想当然地误认为 x � 0, � ，也忽视了应用基本不 等式求最值的前提条件． 实际上，当 x  0 时，  x  0 ，此时 f  x  x  所以  x  2 �2 2   x ， � 2 2 � 2  �  x  ��2 2 x  x  x  � �  x ，即 x   2 时等号成 ，当且仅当 立． 故正确答案为  �, 2 ． � 2� 2 2, � �U � 变式 1 实数 a, b 满足 ab  1 ，则 a  b 的取值范围是 答案 ．  �, 2 U  2, � ． 二、忽视基本不等式探求最值成立条件“定”而致错 f  x  x  例 2 已知 3  x  2 f  x x2 ，求 的最小值． 3 0 错解 当 x  2 时， x  2 ，则 f  x  x  f  x  �6 3 3 3 �2 x � x x2 x2 ， 当 且 仅 当 x  2 ， 即 x  3时 等 号 成 立 ， 此 时 ． 所以 f  x 的最小值是 6． 剖 析 应用基本不等式求最值时必须满足“和为定值”或“积为定值”，本题解法中， f  x  x  3 3 3 �2 x � x x2 x  2 的右边不是定值，这样由 x  2 得到的 x 对应的值一般不是 最小值． 实际上， 当且仅当 所以 f  x f  x  x  x2 3 3   x  2   2 �2 3  2 x2 x2 ， 3 x  2 ，即 x  2  3 时等号成立． 的最小值是 2 3  2 ． 4 a 变式 2 实数 a  3 ，则代数式 a  3 的最大值是 ． 答案 1 ． 例3 设 0 x 错解 由于 3 2 ，则 f  x   4 x  3  2 x  的最大值是 0 x 4x   3  2x 所以 2 ． 3 2 ，则 4 x  0,3  2 x  0 ， � 4x  3  2x ， 2 4 x   3  2 x  � �2 x  3 � � 1 f  x   4 x  3  2 x  ��  � � � x 2 2 � � � � 2 因此 ，当且仅当 4 x  3  2 x ，即 2 2 �2 x  3 � f  x   4 x  3  2 x  �� � 4 � 2 � 时等号成立，此时 ． 所以 f  x  4x  3  2x 的最大值是 4． 2 �2 x  3 � f  x   4 x  3  2 x  �� � � 2 �的右边不是定值，这样由 4 x  3  2 x 剖析 本题解法中， 得到的 x 对应的值一般不是最大值． � 2x   3  2x  � 9 f  x   4 x  3  2 x   2 �2 x  3  2 x  �2 �� � 2 � � 2， 实际上， 2 当且仅当 2 x  3  2 x ，即 所以 f  x  4x  3  2x x 3 4 时等号成立 9 的最大值是 2 ． 变式 3 设 y2 1 x 1  y2 2 ，则 的最大值是 x �0, y �0, x 2  ． 3 2 答案 4 ． 三、忽视基本不等式探求最值成立条件“等”而致错 例 4 求函数 f  x  错解 f  x x2  a x2  a  1 x2  a x2  1  a 当且仅当 所以 f  x  x2  a  1  x �0  的最小值． 1  x2  a  x2  a �2 ， 时，等号成立． 的最小值是 2． 剖 析 应用 基本 不等 式求 最值 时， f  x  �2 的内 涵是 f  x  �2 是正确的，但是，2 是不是最小值取决于 f  x  2 ，那么 2 就不是最小值． 实际上，（1）当 a �1 时，当且仅当 （2）当 a  1 时，令 t  f  x  ∴当 t  故函数 x2  a  1 x a 2  x2  a  变式 4 函数 x2  a  1 x2  a f  x  f  x  2 或者 f  x  2 x  1  a 时，等号成立，所以 f min  2 ． 1 x a 2 f min  a  t x2  5 x2  4  x �0  1  � 单调递增． t 在 t �� � a，  1 a 1  a a ．  x �0  的最小值为 f min 的最小值是 � 2　　  a �1 �  �a  1 　　  a  1 ． � � a ． ， 是否成立，如果只有 x 2  a � a  1 ，则： a ，即 x  0 时， f  x  f  x  2 5 答案 2 ． 四、忽视基本不等式探求最值成立条件“正-定-等”的顺序而致错 f  x   x2  例 5 当 x  0 时，求函数 错解 因为 x  0 ， f  x   x2  当且仅当 故函数 x 2  0, 8 x 的最小值． 8 0 x ，则 8 �2 8 x  4 2 x x ， x2  8 x ，即 x  2 时，等号成立，此时 f  x  �8 f  x   x2  8  x  0 x 的最小值为 8 ． 剖析 应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正二定三相等”的顺序解决问题．此类问 8 4 4  题首先将 x “平均拆分”为 x x ，“凑”出和或积的定值，然后再考查等号，而不是“正-等-定”． 实际上，当 x  0 时， 当且仅当 故函数 x2  8 4 4  x 2   �3 3 16  6 3 2 x x x ， 4 4  x x ，即 x  3 4 时，等号成立， f  x   x2  变式 5 函数 f  x   x2  8  x  0 3 x 的最小值为 6 2 ． f  x   4x  9  x  0 x2 的最小值 ． 3 答案 3 36 ． 五、忽视基本不等式探求最值成立条件“一致”而致错 例 6 (2014 重庆文)若 log 4  3a  4b   log 2 ab ，则 a  b 的最小值是(　　) A． 6  2 3 B． 7  2 3 C． 6  4 3 D． 7  4 3 错解 因为 log 4  3a  4b   log 2 ab ，则 a  0, b  0 ， 3a  4b  ab ， 所以 ab  3a  4b �2 12ab ，即 ab �4 3 ， 又 a  b �2 ab ，所以 a  b �2 ab �8 3 因此 a  b 的最小值为 8 3 ． 剖析 多次应用基本不等式求最值时，要注意等号是否同时成立，即等号成立的条件 是否一致．本题中 ab  4 3 时 3a  4b ，而 a  b  2 ab 须满足 a  b ，显然 a  b  0 与已 知信息矛盾． 3 4  1 3 a  4 b  ab b a 实际上， ，即 ， 3a 4b �3 4 � 3a 4b a  b   a  b  �  � 7   �7  2 12  7  4 3  b a b a � � a ，即 所以 ，当且仅当 b a  4  2 3, b  3  2 3 时等号成立． 或 �3 4 � a  b   a  b  �  � �b a � 2  � 4 3� �� a  b � 2  3 � a b� � �   2 2 2 2 � 4 3 � � a  b �  �a b � � �  2 74 3 ， a b  a 2 b2 4 3  3 ，亦即 a  4  2 3, b  3  2 3 时等号成立． 当且仅当 a b ，即 4 故 a  b 的最小值为 7  4 3 ．正确答案为 D． x y   1 a  0, b  0   1, 2  ，则 a  b 的最小值等于 变式 6 （2015 福建）若直线 a b 过点 ． 答案 3  2 2 ． a b  x  0, y  0 x  y  1 x y 的最小值． a , b 例 7 已知 ，且 ， 为正常数，求 错解 因为 x  0, y  0 ， a, b 为正常数， 所以 a b ab x  y �2 xy ,  �2 x y xy ， �a b � a b ab    x  y  �  ��2 xy � 2  4 ab x y x y� xy � 所以 ， a b  x y 的最小值为 4 ab ． 因此 剖析 多次应用基本不等式求最值时，要注意等号是否同时成立，即等号成立的条件 是否一致．本题中 x  y  2 xy 时 x  y ，而 a b ab  2 x y xy a b  须满足 x y ，显然 a �b 时， a b  x  y 与 x y 不可能同时成立． �a b � a b ay bx ay bx    x  y  �  � a  b   �a 