上海市复旦大学附属中学 2021-2022 学年高一下学 期期末数学试卷 一、填空题 1．已知复数 z 满足 i z  1 ( i 是虚数单位)，则复数 z  　 　． r r d  (1,2, 1) n  ( x, 4,2) l 2．已知直线 的一个方向向量为 ，平面  的一个法向量 ，若 l / / ，则实数 x 　 　． 　． 3．已知圆柱的底面半径为 2，高为 2，则该圆柱的侧面积是　 4．已知向量 r r a  (2,1), b  (1, 1) r r r a a   b ，且 与 的夹角为钝角，则实数  的取值范围是 ． 5．正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 6．如图，长方体 和 CD1 ABCD  A1 B1C1 D1 的中点，则异面直线 7．已知 的棱长为 2，则直线 中， BB1 与平面 ACC1 A1 AB  AA1  2, AD  1 ，点 的距离是　　． E 和 F 分别为线段 CC1 AE 与 BF 所成角的余弦值为　　． P 是 二 面 角   l   内 的 一 点 ， PA 垂 直 于  于 A, PB 垂 直 于  于 B, AB  8 3, PA  PB  8 ，则二面角   l   的大小为　　． 8．已知球 O 的半径为 1，球面上有三点 A 、 B 、 C 且 AB  BC  AC  2 ，则球面上的 点到平面 ABC 的距离的最大值为　　． 9 ． 如 图 ， 直 四 棱 柱 ABCD  A1 B1C1 D1 中 ， 底 面 AB  1 为 平 行 四 边 形 ， AB  1, AD  2, AA1  2, �BAD  60�，点 P 是半圆弧 � A1 D1 上的动点(不包括端点)，点 Q 是半圆弧 � BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥 P  BCQ 的外接球表面积为 S ，则 S 的取 值范围是　　． 10． VABC 中， A  , AB  1, AC  3 ，过点 A 的直线 l 在平面 ABC 上，且 VABC 在直 2 线 l 的同一侧，将 ABC 绕直线 l 旋转一周所得的几何体的体积的最大值为　 　． 二、选择题 l 11．已知直线 、 m 与平面  ，其中 m � ，则“ lm ”是“ l  ( ) ”的 　　 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 12．如图，在正方体 O 为底面 ABCD ABCD  A1 B1C1 D1 的中心，若 中，动点 BE  x, A1 F  y E 在棱 BC 上，动点 F 在线段 A1C1 上， ，则四面体 O  AEF ( 的体积 　　 A．与 x, y 都有关 B．与 x 有关，与 y 无关 C．与 y 有关，与 x 无关 D．与 x, y 都无关 ) tan C tan C 1   13．已知 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 tan A tan B 3 ，则 a 2  b2 c 2 的值为 ( 　　 ) A．3 B．4 14．如图，一张 A4 纸的长 D．8 P1 P2  2a ，宽 P1 P4  2 2a, A, B, C , D 分别是其四条边的中点． 现将其沿图中虚线折起，使得 关于该多面体的命题： C．7 P1 , P2 , P3 , P4 四点重合为一点 P ，从而得到一个多面体，下列 ① 该多面体是三棱锥；②平面 BAD  平面 BCD ； ③ 平面 BAC  平面 ACD ( 其中正确的个数是 　　 A．0 ；④该多面体外接球的表面积为 4 a 2 ； ) B．1 C．2 D．3 三、解答题 � �  �� ,  � r r r r 15．已知向量 m  (sin  , 1), n  (3,cos  ) ，其中 �2 �，且 m  n ． （1）求 tan  和 sin 2 的值； （2）若 sin(   )   �� 5  �� 0, � � 2 �，求角  的值． 5 ，且 16．如图，四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面 ABCD ， �BAD  �BCD   , AB  BC  1, PA  BD  2 ． 过 点 C 作 直 线 AB 的 平 行 线 交 AD 于 2 F,G 为线段 PD 上一点． （1）求证：平面 PAD  平面 CFG ； （2）求平面 PBC 与平面 PDC 所成二面角的大小． 17 ． 如 图 所 示 ， 有 满 足 下 列 条 件 的 五 边 形 的 彩 纸 ABCDE ， 其 中 DE  3cm ， BC  CD  1cm, �BCD  �CDE  2  , �BAE  3 3 ．现将彩纸沿 BE 向内进行折叠． （1）求线段 BE 的长度； （2）若 VABE 是等边三角形，折叠后使 AB  BC ，求直线 AB 与平面 BCDE 的所成角的 大小； （3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥 A  BCDE ，求该四棱锥的体积的最大值． 18．如图，斜三棱柱 ABB1 A1 中， AC  BC , D 为 A1 B1 的中点，平面 ABC  平面 ． （1）求证：直线 （2）设直线 棱 ABC  A1B1C1 AA1  （3）若 AB1 A1 D / / 与直线 平面 BD1 BC1 D1 ； 的交点为点 E ，若三角形 ABC 是等边三角形且边长为 2，侧 7 2 ，且异面直线 BC1 与 AB1 互相垂直，求异面直线 A1 D 与 BC1 所成角； AB  2, AC  BC  2, tan �A1 AB  2 2 ，在三棱柱 ABC  A1B1C1 内放置两个半 径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱 柱 ABC  A1B1C1 的高．