第四章 三角函数与解三角形 一、2017 年考试大纲 1．基本初等函数 II（三角函数） （1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念。 ② 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数 ① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 π ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的 ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 诱导公式，能画出 y=sin x ， y=cos x ， y=tan x 的图像，了解三角函数的周 期性。 2 ] 的性质（如单调性、最大值和最小值 ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间 [0， π π 以及与 x 轴交点等），理解正切函数在区间（ − ， ）的单调性。 2 2 sin x 2 2 =tan x ④ 理解同角三角函数的基本关系式： sin x+cos x =1， cos x ⑤ 了解函数 y  A sin( x   ) 的物理意义；能画出 y  A sin( x   ) 的图像，了解参 数 A、ω、对函数图象变化的影响。 ⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些 简单实际问题。 2．三角恒等变换 （1）和与差的三角函数公式 ① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 （2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公 式，但对这三组公式不要求记忆） 3．解三角形 （1）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题。 二、真题汇编 1.【2016 课标Ⅰ文 4】  ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a= ，c=2，cosA= ，则 b=（　　） （A） （B） （C）2 （D）3 2.【2016 课标Ⅰ文 6】将函数 y=2sin（2x+ 象对应的函数为（　　） （A）y=2sin（2x+ ）（B）y=2sin（2x+ （D）y=2sin（2x﹣ ）的图象向右平移 个周期后，所得图 ）（C）y=2sin（2x﹣ ） ） 3.【2016 课标Ⅰ文 12】若函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增， 则 a 的取值范围是（　　） （A）[﹣ 1，1] （B）[﹣ 1， ] （C）[﹣ ， ] （D）[﹣ 1，﹣ ] 4.【2016 课标Ⅰ文 14】已知 θ 是第四象限角，且 sin（θ+ ）= ，则 tan（θ﹣ ）=　　． 5.【2016 课标Ⅱ 文 3】函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　） （A）y=2sin（2x﹣ （D）y=2sin（x+ ） （B）y=2sin（2x﹣ ）（C）y=2sin（x+ ） ） 6.【2016 课标Ⅱ 文 11】函数 f（x）=cos2x+6cos（ （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 ﹣x）的最大值为（　　） 7.【2016 课标Ⅱ 文 15】  ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA= ，cosC= ，a=1，则 b=　　． 8.【 2016 课 标 Ⅲ 文 5】 已 知 向量 ） =（ ， ）， =（ ， ） ， 则 ∠ ABC=（ （A）30° （B）45° （C）60° （D）120° 9.【2016 课标Ⅲ 文 6】若 tanθ=﹣ ，则 cos2θ=（　　） （A）﹣ （B）﹣ （C） （D） 10.【 2016 课 标 Ⅲ 文 9】 在  ABC 中 ， B= ） （A） （B） （C） ，BC 边 上的高 等于 BC， 则 sinA=（ （D） 11.【2016 课标Ⅲ 文 14】函数 y=sinx﹣ cosx 的图象可由函数 y=2sinx 的图象至少 向右平移　　个单位长度得到． 12.【2015 课标Ⅰ 文 8】函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f（x） 的单调递减区间为（　　） （A）（kπ﹣ ，kπ+ ，），k∈z （B）（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k∈z （C）k﹣ ，k+ ），k∈z （D）（ ，2k+ ），k∈z 13. 【 2015 课 标 Ⅰ 文 17 】 已 知 a ， b ， c 分 别 是 △ ABC 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若 a=b，求 cosB； （Ⅱ）设 B=90°，且 a= ，求△ABC 的面积． 14.【2015 课标Ⅱ 文 11】如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点， 点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）的图象大致为（　　） （A） （B） （C） （D） 15.【2015 课标Ⅱ 文 17】△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ） 求 ． （Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B． 16.【2014 课标Ⅰ 文 2】若 tanα＞0，则（　　） （A）sinα＞0 （B）cosα＞0 （C）sin2α＞0 （D）cos2α＞0 17.【2014 课标Ⅰ 文 7】在函数① y=cos 丨 2x 丨，② y=丨 cosx 丨，③ y=cos（2x+ ）④ y=tan（2x﹣ ）中，最小正周期为 π 的所有函数为（　　） （A）①②③ （B）①③④ （C）②④ （D）①③ 18.【2014 课标Ⅱ 文 14】函数 f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx 的最大值为　　． 19. 【 2014 课 标 Ⅱ 文 17 】 四 边 形 ABCD 的 内 角 A 与 C 互 补 ， AB=1，BC=3，CD=DA=2． （Ⅰ）求 C 和 BD； （Ⅱ）求四边形 ABCD 的面积． 20.【2013 课标Ⅰ 文 9】函数 f（x）=（1﹣ cosx ）sinx 在[﹣ π ，π]的图象大致为（ ） （A） （B） （C） （D） 21.【2013 课标Ⅰ 文 10】已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=（　　） （A）10 （B）9 （C）8 （D）5 22.【2013 课标Ⅰ 文 16】设当 x=θ 时，函数 f（x）=sinx﹣ 2cosx 取得最大值，则 cosθ=　　． 23.【 2013 课 标 Ⅱ 文 4】 △ ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c， 已 知 b=2，B= ，C= ，则△ABC 的面积为（　　） （A）2 +2 （B） （C） 2 ﹣ 2 （D） ﹣1 24.【2013 课标Ⅱ 文 6】已知 sin2α= ，则 cos2（α+ ）=（　　） （A） （B） （C） （D） 25.【2013 课标Ⅱ 文 16】函数 y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单 位后，与函数 y=sin（2x+ ）的图象重合，则 φ=　　． 26. 【 2012 课 标 Ⅰ 文 9 】 已 知 ω ＞ 0 ， 0 ＜ φ ＜ π ， 直 线 x= 和 x= 是 函 数 f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则 φ=（　　） （A） （B） （C） （D） 27.【2012 课标Ⅰ 文 16】设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=　　． 28.【2012 课标Ⅰ 文 17】已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c= asinC﹣ ccosA． （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）若 a=2，△ABC 的面积为 ，求 b，c． 三、详解品评 1.【2016 课标Ⅰ文 4】  ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a= ，c=2，cosA= ，则 b=（　　） （A） （B） 【答案】D 【考点】余弦定理． （C）2 （D）3 菁优 网版权所 有 【解析】：因为 a= ，c=2，cosA= ，由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得：3b2﹣ 8b﹣ 3=0，解得：b=3 或﹣ （舍去）． 【试题分析与点评】： 本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算 能力和转化思想，属于基础题． 2.【2016 课标Ⅰ文 6】将函数 y=2sin（2x+ 象对应的函数为（　　） （A）y=2sin（2x+ ）（B）y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个周期后，所得图 ）（C）y=2sin（2x﹣ ） （D）y=2sin（2x﹣ ） 【答案】D 【考点】正弦函数的图象变换 【解析】：函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 ）的周期为 T= =π，由题意即为函数 y=2sin（2x+ 个单位，可得图象对应的函数为 y=2sin[2（x﹣ ）+ ]，即有 y=2sin（2x﹣ ）． 【试题分析与点评】： 本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量 x 而言，考查运算能 力，属于基础题和易错题． 3.【2016 课标Ⅰ文 12】若函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增， 则 a 的取值范围是（　　） （A）[﹣ 1，1] （B）[﹣ 1， ] （C）[﹣ ， ] （D）[﹣ 1，﹣ ] 【答案】C 【考点】利用导数研究函数的单调性涉及三角函数求导公式． 菁优网版 权所有 【解析】：函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 的导数为 f′（x）=1﹣ cos2x+acosx， 由题意可得 f′（x）≥0 恒成立，即为 1﹣ cos2x+acosx≥0，即有 ﹣ cos2x+acosx≥0， 设 t=cosx（﹣1≤t≤1），即有 5﹣ 4t2+3at≥0，当 t=0 时，不等式显然成立； 当 0＜t≤1 时，3a≥4t﹣ ，由 4t﹣ 在（0，1]递增，可得 t=1 时，取得最大值﹣1， 可得 3a≥﹣ 1，即 a≥﹣ ；当﹣1≤t＜0 时，3a≤4t﹣ ，由 4t﹣ 在[﹣ 1，0）递增， 可得 t=﹣ 1 时，取得最小值 1，可得 3a≤1，即 a≤ ．综上可得 a 的范围是[﹣ ， ]． 【