第 6 节 数列求和之裂项相消法 【基础知识】 1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法 称为裂项相消法.适用于类似 （其中 是各项不为零的等差数列， 为常数） 的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1） ，特别地当 （2） 时， ，特别地当 ； 时， （3） （4） （5） 一般裂项模型： （1） an =f (n+1) − f (n) 1 1 1 = − （3） an = n(n+1) n n+1 （5） an = n+1¿ ∘ ¿ n+1 ¿∘ − tan n∘ （2） cos n∘ cos ¿ sin1∘ ¿ 2 n ¿2 ¿ （4） ¿ an =¿ 1 1 1 1 = [ − ] n(n −1)(n+2) 2 n (n+1) (n+ 1)(n+ 2) ； an = (6) n+2 1 2(n+ 1)−n 1 1 1 1 ⋅ n= ⋅ n= − , 则Sn=1 − n −1 n n(n+1) 2 n( n+1) 2 n ⋅ 2 ( n+1) 2 (n+1)2n （7） an = 1 1 1 1 = ( − ) (An+ B)(An+C) C − B An+ B An+C （8） 【规律技巧】 1. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下 两项． 对于不能由等差数列、等比数列的前 n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的 结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和． 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项 公式及前 项和公式． 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被 消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式． 2.　利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如 容易误裂为 ，漏掉前面的系数 (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 【典例讲解】 【例 1】 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn＜. 【解析】(1)解　由 S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以 Sn＞0，Sn＝n2＋n. ； 于是 a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项 an＝2n. 规律方法　利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的 系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等． 【 变 式 探 究 】 (2014· 山 东 卷 ) 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 2 ， 前 n 项 和 为 Sn ， 且 S1，S2，S4 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】(1)因为 S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得 a1＝1， 所以 an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1. 当 n 为偶数时， Tn＝－＋…＋－＝1－＝. 当 n 为奇数时， Tn＝－＋…－＋＝1＋＝. 所以 Tn＝ 1 1 1 , , ⋅⋅ , ,⋅⋅ 的前 n 项和. 1+ √ 2 √ 2+ √3 √ n+ √ n+1 1 = √ n+1 − √ n 解：设 an = （裂项） √n+ √ n+1 1 1 1 + +⋅+ 则 S n= （裂项求和） 1+ √ 2 √ 2+ √ 3 √ n+ √ n+1 【例 2】求数列 ＝ ( √ 2− √ 1)+( √ 3 − √ 2)+ ⋅+( √ n+1− √ n) ＝ √ n+1− 1 【例 3】 在数列{an}中， an = 2 1 2 n + + ⋅+ ，又 bn = a ⋅ a ，求数列{bn}的 n+ 1 n+1 n+1 n n+1 前 n 项的和. 1 2 n n + + ⋅+ = n+ 1 n+1 n+1 2 2 1 1 bn = =8( − ) n n+1 n n+1 ∴ ⋅ 2 2 解： 　 ∵ 　 an = （裂项） ∴ 数列{bn}的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 S n=8 [(1 − )+( − )+( − )+⋅+( − )] 2 2 3 3 4 n n+1 （裂项求 和） ＝ 8(1 − 1 ) n+1 ＝ 8n n+1 1 1 1 cos 1∘ + +⋅+ = 【例 4】求证： ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 2 ∘ cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 sin 1 解：设 S= 1 1 1 + +⋅+ ∘ ∘ ∘ ∘ cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89∘ ∘ n+1¿ ∘ ¿ n+1 ¿∘ − tan n∘ ∵ （裂项） cos n∘ cos ¿ sin1∘ ¿ 1 1 1 + +⋅+ ∴ S= ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89∘ （裂项求和） 1 {(tan1∘ − tan0 ∘)+( tan 2∘ − tan 1∘)+(tan 3∘ − tan 2∘)+[tan 89∘ − tan 88∘ ]} ∘ sin 1 ＝ ∘ 1 1 (tan 89∘ − tan0 ∘) ＝ ⋅cot 1∘ ＝ cos21 ∘ ∘ ∘ sin 1 sin 1 sin 1 ∴　原等式成立 【针对训练】 1、求数列 , 的前 项和. ＝ 2、求数列 1 1 1 1 ， ， ，…， 1 ×3 2×4 3×5 n(n+2) ，…的前 n 项和 S {a n } 3、已知数列 的通项公式为 an = 1 √ n+1+ √ n 求它的前 n 项的和. 【巩固提升】 1．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若 bn＝，那么数列{bn}的前 n 项和 Sn 为 A. (　　) B. C. D. 2．已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋an＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令 Tn＝＋＋…＋，求 Tn. 3.求数列 1 1 1 , , ⋅ ⋅, ,⋅⋅ 的前 n 项和. 1+ √ 2 √ 2+ √3 √ n+ √ n+1 4. 答案： 5、 答案： . =