2016 年高考数学大题限时规范训练四：概率统计 部分 班级_________ 姓名_________ 分数_____ ____ 解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (时间 60 分钟分数 70 分) 1.(2015·成都二模)某人向一目标射击 4 次，每次击中目标的概率为.该目标分为 3 个不 同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其 面积成正比． (1)设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列； (2)若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”， 求 P(A)． 解：(1)依题意知 X～B， P(X＝0)＝C04＝， P(X＝1)＝C13＝， P(X＝2)＝C22＝， P(X＝3)＝C31＝， P(X＝4)＝C40＝. ∴X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4 (2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分”i＝1,2. Bi 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分”，i＝1,2. 依题意知 P(A1)＝P(B1)＝0.1， P(A2)＝P(B2)＝0.3， A＝A11∪1B1∪A1B1∪A2B2， 所求的概率为 P(A)＝P(A11)＋P(1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(1)＋P(1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 2.(2013·广东六校联考)近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经 常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来 5 天的指定时间的降雨 概率是：前 3 天均为 50%，后 2 天均为 80%，5 天内任何一天的该指定时间没 有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨． (1)求至少有 1 天需要人工降雨的概率； (2)求不需要人工降雨的天数 X 的分布列和期望． 解　(1)5 天全不需要人工降雨的概率是 P1＝＝， 故至少有 1 天需要人工降雨的概率是 1－P1＝. (2)X 的取值是 0，1，2，3，4，5，由(1)知 P(X＝5)＝， P(X＝4)＝×C××＋C××＝＝， P(X＝3)＝C××＋C××C××＋×＝， P(X＝2)＝C××＋C××C××＋×＝， P(X＝1)＝C××＋×C××＝，P(X＝0)＝×＝， ∴不需要人工降雨的天数 X 分布列是 X 0 1 2 P 不需要人工降雨的天数 X 的期望是 3 4 5 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3.1. 3．(2013·安徽合肥一模)“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现 有 100 万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利 20%，可能损失 10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，； 如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利 30%，也可能损失 20%，这两 种情况发生的概率分别为 a 和 b(其中 a＋b＝1)． (1)如果把 100 万元投资“传统型”经济项目，用 ξ 表示投资收益(投资收益＝回 收资金－投资资金)，求 ξ 的概率分布及均值(数学期望)E(ξ)； (2)如果把 100 万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投 资“传统型”经济项目的投资收益均值，求 a 的取值范围． 解　(1)依题意知 ξ 的可能取值为 20，0，－10，ξ 的分布列为 η 20 P E(ξ)＝20×＋0×＋(－10)×＝10. 0 －10 (2)设 η 表示把 100 万元投资“低碳型”经济项目的收益，则 η 的分布列为 η P －20 b 30 a E(η)＝30a－20b＝50a－20， 依题意，得 50a－20≥10， ∴≤a≤1. ∴a 的取值范围是. 4．(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障 碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入 A 槽，得 10 张奖票；若落 入 B 槽，得 5 张奖票；若落入 C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过 3 次． (1)求投球一次，小球落入 B 槽的概率； (2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望． 解：(1)由题意可知投一次小球，落入 B 槽的概率为 2＋2＝. (2)落入 A 槽的概率为 2＝，落入 B 槽的概率为，落入 C 槽的概率为 2＝. X 的所有可能取值为 0,5,10， P(X＝0)＝3＝， P(X＝5)＝＋×＋2×＝， P(X＝10)＝＋×＋×2＝， X 的分布列为 X P 0 5 10 E(X)＝0×＋5×＋10×＝. 5．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如 下： 日最高气温 t(单位：℃) 天数 t≤22 6 22＜t≤28 12 28＜t≤32 Y t＞32 Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和 Z 数据不清楚，但气象部门提供的资料显示， 六月份的日最高气温不高于 32 ℃的频率为 0.9. 某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温 t(单位：℃)对西瓜的销售影响如 下表： 日最高气温 t(单位：℃) 日销售额 X (单位：千元) t≤22 22＜t≤28 28＜t≤32 t＞32 2 5 6 8 (1)求 Y，Z 的值； (2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差； (3)在日最高气温不高于 32 ℃时，求日销售额不低于 5 千元的概率． 解：(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9， ∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1， ∴Z＝30×0.1＝3， Y＝30－(6＋12＋3)＝9. (2)P(t≤22)＝＝0.2，P(22＜t≤28)＝＝0.4， P(28＜t≤32)＝＝0.3，P(t＞32)＝＝0.1， ∴六月份西瓜日销售额 X 的分布列为 X P 2 0.2 5 0.4 6 0.3 8 0.1 ∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5， D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3. (3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝＝＝. 6．(2015·崇文一模)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教 师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人教 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10 (1)从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 X，求随机 变量 X 的分布列和数学期望． 解：(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C＝1 225，选出 2 人使用版本相同的方 法数为 C＋C＋C＋C＝350，故 2 人使用版本相同的概率为 P＝＝. (2)X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝. P(X＝2)＝＝. ∴X 的分布列为 X P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 0 1 2