2016 年高考数学微专题十四 基本不等式与柯西不等式 一、高考考纲要求 不等式 （1）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （2）一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 ② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 ③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。 （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 a+b ≥ √ ab (a ， b≥0 ) （4）基本不等式： 2 ① 了解基本不等式的证明过程。 ② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、知识点精析 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2.(简记：积 定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是.(简记：和 定积最大) 4．平均值不等式 (1)定理：如果 a，b，c 为正数，则≥，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 我们称为正数 a，b，c 的算术平均值，为正数 a，b，c 的几何平均值，定理 中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． (2)一般形式的算术—几何平均值不等式：如果 a1，a2，…，an 为 n 个正数， 则≥，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 5．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a1 ，a2 ，b1 ，b2 均为实数，则 (a＋a)(b＋ b)≥(a1b1＋a2b2)2(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 ＋≥ . (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0 或存在一 个数 k，使 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 考点一利用基本不等式求最值 例一、(1)(2016·四川模拟)已知函数 f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值，则 a ＝________. 解析 f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当 4x＝，即 a＝4x2 时取等号，则由题意知 a ＝4×32＝36. 答案　36 (2)(2016·长春调研)若两个正实数 x，y 满足＋＝1，并且 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是________． 解析　x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即 x＝2y＝4 时等号成立．由 x＋ 2y>m2＋2m 恒成立，可知 m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4<m<2. 答案　(－4,2) (3)(2016·山东高考模拟)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则的最小值为____ ____． 解析　z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)， ∴＝＝＋－3≥2－3＝1. 当且仅当＝，即 x＝2y＝4 时“＝”成立． 答案　1 练习(1)当 x＞0 时，则 f(x)＝的最大值为________． (2)已知 log2a＋log2b≥1，则 3a＋9b 的最小值为________． (3)已知 x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若 xy≥m－2 恒成立，则实数 m 的最大值是________． 解析：(1)∵x＞0， ∴f(x)＝＝≤＝1， 当且仅当 x＝，即 x＝1 时取等号． (2)由 log2a＋log2b≥1 得 log2(ab)≥1， 即 ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当 3a＝32b，即 a＝2b 时取等号)． 又∵a＋2b≥2≥4(当且仅当 a＝2b 时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18. 即当 a＝2b 时，3a＋9b 有最小值 18. (3)由 x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得 xy≥8，于是由 m－2≤xy 恒成立，得 m－2≤8，即 m≤10.故 m 的最大值为 10. 答案：(1)1　(2)18　(3)10 考点二基本不等式的实际应用 例二 某厂家拟在 2013 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年 产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x＝3－(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产 品的年销售量只能是 1 万件．已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元．每生产一万件 该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍 (产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解析　(1)由题意知，当 m＝0 时，x＝1(万件)， ∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－， 每件产品的销售价格为 1.5×(元)， ∴2013 年的利润 y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)∵m≥0 时，＋(m＋1)≥2＝8， ∴y≤－8＋29＝21， 当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)． 故该厂家 2013 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元． 考点三：柯西不等式及应用 例三 已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 解析　(1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其 解集为{x|－m≤x≤m}． 又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1. (2)证明：由(1)知＋＋＝1，又 a，b，c∈R ＋，由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋ 3c)≥2＝9. 训练 已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2 ＋3c2 ＋6d2 ＝5，求证： 1≤a≤2. 证明：由柯西不等式得(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由已知可得 2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，b＋c＋d＝3－a， ∴5－a2≥(3－a)2，即 1≤a≤2. 当且仅当＝＝，即 2b＝3c＝6d 时等号成立． 四、高考模拟试题精练 (建议用时：60 分钟) 一、选择题 1.若 a，b 是任意实数，且 a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A.a2＞b2 B.＜1 C.lg(a－b)＞0 D.＜ 解析　∵0＜＜1，∴y＝在 R 上是减函数，又 a＞b，∴＜. 答案　D 2.已知一元二次不等式 f(x)＜0 的解集为， 则 f(10x)＞0 的解集为(　　) A.{x|x＜－1 或 x＞－lg 2} B.{x|－1＜x＜－lg 2} C.{x|x＞－lg 2} D.{x|x＜－lg 2} 解析　因为一元二次不等式 f(x)＜0 的解集为，所以可设 f(x)＝a(x＋1)·(a＜0)， 由 f(10x)＞0，可得(10x＋1)·＜0，即 10x＜，解得 x＜－lg 2，故选 D. 答案　D 3.设函数 f(x)＝x－对任意 x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)＜0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是(　　) A. C. B. D. 解析　f(2mx)＋2mf(x)＝4mx－，当 m＞0 时， h(x)＝4mx－在[1，＋∞)上单调递增，h(x)不可能恒小于 0，故 m＞0 不符合题意； 当 m＜0 时，h(x)＝4mx－(x∈[1，＋∞))单调递减，h(x)在 x＝1 处取得最大值， [h(x)]max＝h(1)＝4m－＜0，解得 m＜－，故选 A. 答案　A 4.已知 x，y 满足且目标函数 z＝2x＋y 的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值 是(　　) A.1 B. C. D. 解析　在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x＋y＝0，平 移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在 y 轴上的截距 最大，此时 z＝2x＋y 取得最大值 3；当平移到经过该平面区域内的点(a，a)时， 相应直线在 y 轴上的截距最小，此时 z＝2x＋y 取得最小值 3a，于是有 8×3a＝ 3，a＝，故选 D. 答案　D 5.已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是(　　) A.9 B.3 C.4 D.2 解析　∵x＋2y＋2xy＝8，∴(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，∴x＋ 2y≥4，当且仅当 x＋1＝2y＋1，即 x＝2，y＝1 时取“＝”号.故 x＋2y 的最小值为 4，选 B. 答案　B 6.(2016·贵阳摸拟)已知实数 x，y 满足则 z＝2x－2y－1 的取值范围是(　　) A. B.[0，5] C. D. 解析　画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知 2×－2×－ 1≤z＜2×2－2×(－1)－1，即 z 的取值范围是. 答案　D 二、填空题 7.若不等式 m＋≤x＋1 对 x∈[－2，0]恒成立，则实数 m 的取值范围是________. 解析　原不等式即为≤x＋1－m. 令 f(x)＝＝，g(x)＝x＋1－m. 则在同一坐标系内 f(x)图象在 g(x)图象下方. 如图所示，f(x)图象是以(－1，0)为圆心，以 1 为半径的半 圆(x 轴上方部分)，g(x)图象是一组随 m 变化的平行直线.当 直线和半圆相切时，由 d＝r 得，＝1，解得 m＝－或 m＝，又由已知得 1－m＞ 0，即 m＜1，故只取 m＝－. 当直线向上平移时，也满足条件，所以实数 m 的取值范围是(－∞，－]. 答案　(－∞，－]