第 7 节 利用空间向量解决探索性问题 【基础知识】 假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参 数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点 G 的坐 标，借助向量运算，判定关于 P 点的方程是否有解． 【规律技巧】 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观 察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论； om 【典例讲解】 【例 1】 在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD＝ DC，E，F 分别是 AB，PB 的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF⊥平面 PCB.若存在，求出点 G 坐标；若不存 在，试说明理由． 【变式探究】如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA⊥CD，PA ＝1，PD＝，E 为 PD 上一点，PE＝2ED. (1)求证：PA⊥平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF∥平面 AEC？若存在，指出 F 点的位置，并 证明；若不存在，说明理由． (1)证明　∵PA＝AD＝1，PD＝， ∴PA2＋AD2＝PD2，即 PA⊥AD. 又 PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面 ABCD. 【针对训练】 1．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，在棱 C1D1 上是否存 在一点 F，使 B1F∥平面 A1BE？证明你的结论． 2.如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角 梯 形， , （1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 【答案】（1） （2） 【练习巩固】 1．（2015 秋•晋城期末）如图甲，⊙ O 的直径 AB=2，圆上两点 C，D 在直径 AB 的两侧， 使∠CAB= ，∠DAB= ．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图 乙），F 为 BC 的中点．根据图乙解答下列各题： （1）求点 D 到平面 ABC 的距离； （2）如图：若∠DOB 的平分线交弧 明理由． 于一点 G，试判断 FG 是否与平面 ACD 平行？并说 【答案】（1） ．（2）FG∥面 ACD．见解析 【解析】 试题分析：（1）由已知推导出 DE⊥AO，DE⊥面 ABC，从而 DE 即为点 D 到 ABC 的距离， 由此能求出点 D 到面 ABC 的距离． （ 2 ） 连 结 OF ， 则 FO∥AC ， 从 而 FO∥ 面 ACD ， 令 OG 交 DB 于 M ， 连 结 MF ， 则 MF∥CD，由此能推导出 FG∥面 ACD． 解：（1）△ADO 中，AO=DO，且 ，∴AO=DO=AD． 又 E 是 AO 的中点，∴DE⊥AO．又∵面 ABC⊥面 AOD， 且 ABC∩面 AOD=AO，DE⊂面 AOD， ∴DE⊥面 ABC．∴DE 即为点 D 到 ABC 的距离． 又 DE= ，AO= ∴点 D 到面 ABC 的距离为 ． ． （2）FG∥面 ACD．理由如下： 连结 OF，则△ABC 中，F、O 分别为 BC、AB 的中点．∴FO∥AC． 又∵FO⊄面 ACD，AC⊂面 ACD，∴FO∥面 ACD， ∵OG 是∠DOB 的平分线，且 OD=OB，令 OG 交 DB 于 M， 则 M 是 BD 的中点，连结 MF，则 MF∥CD， 又∵MF⊄面 ACD，CD⊂面 ACD，∴MF∥面 ACD， 且 MF∩FO=F，MF、FO⊂面 FOG．∴面 FOG∥面 ACD． 又 FG⊂面 FOG，∴FG∥面 ACD． 考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 2 ．如 图， 在四 棱锥 P﹣ABCD 中 ，底 面 ABCD 是 平行 四边 形， ∠ BCD=135° ， 侧面 PAB⊥底面 ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD 上． （Ⅰ）求证：EF⊥平面 PAC； （Ⅱ）若 M 为 PD 的中点，求证：ME∥平面 PAB； （Ⅲ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明 AB⊥AC．EF⊥AC．推出 PA⊥底面 ABCD，即可说明 PA⊥EF，然 后证明 EF⊥平面 PAC． （Ⅱ）证明 MF∥PA，然后证明 MF∥平面 PAB，EF∥平面 PAB．即可证明平面 MEF∥平面 PAB，从而证明 ME∥平面 PAB． （Ⅲ）以 AB，AC，AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关 点的坐标，平面 ABCD 的法向量，平面 PBC 的法向量，利用直线 ME 与平面 PBC 所成的 角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，列出方程求解即可 试题解析： （Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以 AB⊥AC． 由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，得 EF∥AB， 所以 EF⊥AC． 因为侧面 PAB⊥底面 ABCD，且∠BAP=90°， 所以 PA⊥底面 ABCD． 又因为 EF⊂底面 ABCD， 所以 PA⊥EF． 又因为 PA∩AC=A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC， 所以 EF⊥平面 PAC． （Ⅱ）证明：因为 M 为 PD 的中点，F 分别为 AD 的中点， 所以 MF∥PA， 又因为 MF⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB， 所以 MF∥平面 PAB． 同理，得 EF∥平面 PAB． 又因为 MF∩EF=F，MF⊂平面 MEF，EF⊂平面 MEF， 所以平面 MEF∥平面 PAB． 又因为 ME⊂平面 MEF， 所以 ME∥平面 PAB． （ Ⅲ ） 解 ： 因 为 PA⊥ 底 面 ABCD ， AB⊥AC ， 所 以 AP ， AB ， AC 两 两 垂 直 ， 故 以 AB，AC，AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣ 2，2，0），E（1，1，0）， 所以 ， 设 ， ， ，则 ， 所以 M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ）， 易得平面 ABCD 的法向量 ， =（0，0，1）． 设平面 PBC 的法向量为 =（x，y，z）， 由 ， ，得 令 x=1，得 =（1，1，1）． 因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等， 所以 所以 解得 ，即 ， ， ，或 （舍）． 考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 3．在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， 为 中点，底 面 是直角梯形， ， ， ， ． P E D A C B （1）求证： 平面 （2）求证： ； 平面 （3）在线段 ； 上是否存在一点 ，使得二面角 为 ？若存在,求 的 值；若不存在，请述明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，且 ． 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知，这条平行 线是过直线 的平面 到平面 线作法易知，只要取 中点 的交线，由于 ， 是中点， ，因此辅助 就是要找的平行线；（2）要证线面垂直，就是要 证线线垂直，由已知易得 ，因此还要证 （或者 ），这在 中由勾股定理可证；（3）求二面角问题，可通过参阅空间直角坐标系用空间向量 法求解，即以 为坐标轴建立坐标系，写出各点坐标，并设设 ，所以 ，求出两平面 ， ， 的法向量，由法向量的夹角与 二面角相等或互补可得． 试题解析：（1）取 且 所以 的中点 ，在梯形 ， ，连结 中， ，四边形 ，因为 为 ， 为平行四边形， ， 中点，所以 ， 所以 ， 因为 平面 所以 ， 平面 平面 ． （2）平面 底面 所以 ， ， ，所以 ． 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ． 则 ， 所以 ， ， 又由 ， 平面 ，可得 ， 因为 所以 平面 （3）平面 ． 的法向量为 ，设 所以 P ， ， ， z F Q E D A x 设平面 C y B 的法向量为 ， ， ， 平面 ， 由 ， ，得 ， 令 所以 ， 所以 ， 注意到 ，得 所以在线段 ． 上存在一点 ，使得二面角 为 ， 此时 考点：线面平行的判断，线面垂直的判断，二面角． 中， 4．如图，在四棱锥 ，且 （Ⅰ）若点 为 （Ⅱ）求二面角 （Ⅲ）在线段 底面 为梯形， ， ． 上一点且 ，证明： 平面 ； 的大小； 上是否存在一点 ，使得 说明理由． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 ，底面 ；（Ⅲ） ?若存在，求出 的长；若不存在， 试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知平行线是过 的平面 与平面 的交线，由已知过点 作 ，交 就是要找的平行线；（Ⅱ）求二面角，由于图中已知 于 ,连接 , 两两垂直，因此以 它们为坐标轴建立空间直角坐标系，可用向量法求得二面角，只要求得两个面的法向量， 由法向量的夹角与二面角相等或互补可得（需确定二面角是锐二面角还是钝二面角）； （3）有了第（2）小题的空间直角坐标系，因此解决此题时， 假设存在点 ，设 ，由 试题解析：（Ⅰ）过点 因为 作 ，所以 又 所以 ， 又 如图，以 为平行四边形, 所以 ． ， 平面 平面 , ． 平面 ,（一个都没写的，则这 1 分不给） ． 中， ， ,所以 ，所以 为原点， 所以 设平面 ,连接 ． （Ⅱ）因为梯形 因为 于 ，所以 平面 所以 即可． ，交 求得 ． , 所在直线为 轴建立空间直角坐标系, ． 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 , 因为 所以 取 ，即 得到 ， , 同理可得 , 所以 , 因为二面角 为锐角， 所以二面角 为 （Ⅲ）假设存在点 ．