第 7 节 几何体的展开、折叠、切、截问题 【基础知识】 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系 和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素 以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的． 【规律技巧】 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各 元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变． 研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上 两点间的最短距离问题． om 【典例讲解】 例 1、如图所示，平面四边形 ABCD 中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿 对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD⊥平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个 球面上，则该球的体积为(　　) A.π　　　B．3π　　　C.π　　　D．2π 所以该球的体积 V＝π3＝π.故选 A. 【答案】A 【变式探究】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的 棱长为________． 【针对训练】 1、已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形 ABCD 周长最小时，沿对角线 AC 把△ACD 折起， 则三棱锥外接球表面积等于(　　) A．8π　 B．16π C．48π　 D．50π 【答案】B 2、已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧 视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表 面积是______________． 【 答 案 【解析】由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为 2，即为球 的直径． 所以球的表面积为 S＝4π·2＝12π. 3、如图，在三棱柱 A1B1C1－ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点．设三棱锥 F －ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1－ABC 的体积为 V2，则 V1∶V2＝________. 【答案】1∶24 【解析】＝＝··＝×××＝. 4、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个 三棱柱的体积是________． 【答案】48 5、 如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，剪去 △ AOB ， 将 剩 余 部 分 沿 OC ， OD 折 叠 ， 使 OA ， OB 重 合 ， 则 以 A，B，C，D，O 为顶点的四面体的体积为________． 【答案】 8 √2 3 6、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到 的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 7、在棱长为的正方体 中心，则过点 中，点 和 、 、 的平面截正方体的截面面积为 、 、 的平面截面的等边 分别是矩形 和 . 【答案】 【解析】过点 ． ，其边长为 ，面积为 的 8、正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的截面，则截面面积 的最小值为 . 【答案】 8、把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成三棱锥 C－ABD，它的主视图与俯 视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D 的正切值为 ． 主视图 俯视图 【答案】 √2 9、如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将 △ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示． （Ⅰ） 求证：BC⊥平面 ACD； （Ⅱ）求几何体 DABC 的体积． 【练习巩固】 1．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图 12 所示，将该石材切削、打 磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　) 图 12 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B　 2．（2014·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2， 则该球的表面积为(　　) A. B．16π C．9π D. 【答案】A　 3．（2014·陕西卷）已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 则该球的体积为(　　) A. B．4π C．2π D. 【答案】D　 4.正三棱锥的高为 1，底面边长为 2，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和 球的半径． 5．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将 △ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC⊥平面 ABC，得到几何体 D－ABC，如图 2 所示． (1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D－ABC 的体积． 6．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上，半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M，与 BC 交于点 N)，将△ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体． (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小； (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积． 【解析】(1)连接 OM，则 OM⊥AB， INCLUDEPICTURE "D:\\2016 一轮资料\\数学\\2016 届《步步高》高考数学大一轮总 复习（人教新课标，文科）\\2016 届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标，文 科）配套（课件+word 版导学案+word 版文档+题库）：第八章 立体几何（打包 26 份）\\- 42.TIF" \* MERGEFORMATINET 设 OM＝r，OB＝－r， 在△BMO 中，sin∠ABC＝＝⇒r＝. ∴S＝4πr2＝π.