2020-2021 学年北京二十中高二（下）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）. 1．已知集合 M＝（﹣3，5]，N＝[5，+∞），则 M∪N＝（　　） A．（﹣3，+∞） B．{5} C．（﹣3，5） D．[5，+∞） 2．命题“∀x∈（0，+∞），ex≥x+1”的否定是（　　） A．∃x∈（0，+∞），ex≥x+1 B．∀x∈（0，+∞），ex＜x+1 C．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1 D．∀x∈（﹣∞，0]，ex≥x+1 3．已知﹣1＜a＜0，b＜0，则 b，ab，a2b 的大小关系是（　　） A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab 4．函数 y＝f（x）在 x＝0 处的切线 l 经过点（1，0），如图所示，则 f′（0）+f′（﹣1）＝ （　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 5．已知数列{an}和{bn}满足 bn＝|an|，则“数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分 类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（ pào）、 竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐 器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（　　） A． B． C． D． 7．已知{an}是等差数列，公差 d＜0，前 n 项和为 Sn ，若 a3 ，a4 ，a8 成等比数列，则（ 　） A．a1＞0，S4＞0 B．a1＜0，S4＜0 C．a1＞0，S4＜0 D．a1＜0，S4＞0 8．函数 f（x）＝x3+kx2﹣7x 在区间[1，+∞）上单调递增，则实数 k 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[﹣2，2] D．[2，+∞） 9．无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，前 n 项和为 Sn，若对∀n∈N*，Sn∈{2，3}，则 k 的最 大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 若关于 x 的不等式 f（x）≥0 在 R 10．已知 a∈R．设函数 f（x）＝ 上恒成立，则 a 的取值范围为（　　） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e] 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．已知 f（x）＝cosx•ex，则 f'（0）＝　 　． 12．设（3x2﹣x）n 展开式的二项式系数和为 32，则含 x6 的系数是 　 　． 13．已知数列{an}满足①∀k∈N*，ak+1＞ak，②∀k∈N*，|ak+1﹣ak|≤2，请写出一个满足条件 的数列的通项公式 　 　．（答案不唯一） 14．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，a3＝3，an+3＝ ，下列说法正确 的是 　 　． ①a4＝9； ②∀n∈N*，an 都是正整数； ③a2k﹣1，a2k，a2k+1 成等差数列； ④∃k∈N*，∀n∈N*，an+an+2＝kan+1． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分． 15．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4+a5＝48． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的通项公式为 bn＝an+n﹣1，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 16．2021 年 6 月 18 时 48 分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱， 这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研 究工作． 我国的航天员一般是从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的．某校甲、乙、 丙三位同学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是 “万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某 校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关 的概率分别是 0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是 0.6，0.5，0.4，由于他们平 时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响． （1）求甲被录取成为空军飞行员的概率； （2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的分布列及期望． 17．已知函数 f（x）＝xlnx． （1）求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求证：f（x）＜x2+x． 18．单板滑雪 U 型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的 12 名运动员按照预 赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的 动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩． 现有运动员甲，乙二人在 2021 赛季单板滑雪 U 型池世界杯分站比赛成绩如表： 分站 第1 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩 第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70 站 第2 站 第3 站 第4 站 第5 站 假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立． （Ⅰ）从如表 5 站中随机选取 1 站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概 率； （Ⅱ）从如表 5 站中任意选取 2 站，用 X 表示这 2 站中甲的成绩高于乙的成绩的站数， 求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）假如从甲、乙 2 人中推荐 1 人参加 2022 年北京冬奥会单板滑雪 U 型池比赛，根 据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由． （注：方差 s2＝ [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn ）2]，其中 为 x1 ，x2 ，…，xn 的 平均数） 19．设函数 f（x）＝ex﹣ax﹣2． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 a＝1，k 为整数，且当 x＞0 时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求 k 的最大值． 20 ． 设 n 是 正 整 数 ， 对 每 一 个 满 足 0≤ai≤n （ i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ） 的 整 数 数 列 A ： 0，a1…，an ，定义变换 T：T 将数列 A 变换成数列 T（A）：0，T（a1 ），T（a2 ）， …，T（an ），其中 T（ai）为数列 A 位于 ai 之前的与 ai 不相等的项的个数（i＝1，2， …，n），令 Ak+1＝T（Ak）（k＝0，1，2，⋯）． （1） 已知 数列 A0 分 别为 0 ，1 ， 2 ，3 和 0 ，0， 2 ，0 ， 1 ，3 ， 请写 出对 应的 数列 A1，A2，A3； （2）数列 B：0，b1，b2，…，bn，满足 bi﹣1≤bi，且 bi＝i 或 bi﹣1（i＝1，2，…，n），求 证：T（B）＝B； （3）求证：对任意满足已知条件的数列 A0，当上 k≥n 时，Ak＝T（Ak）． 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）. 1．已知集合 M＝（﹣3，5]，N＝[5，+∞），则 M∪N＝（　　） A．（﹣3，+∞） B．{5} C．（﹣3，5） D．[5，+∞） 解：∵M＝（﹣3，5]，N＝[5，+∞）， ∴M∪N＝（﹣3，+∞）． 故选：A． 2．命题“∀x∈（0，+∞），ex≥x+1”的否定是（　　） A．∃x∈（0，+∞），ex≥x+1 B．∀x∈（0，+∞），ex＜x+1 C．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1 D．∀x∈（﹣∞，0]，ex≥x+1 解：命题为全称命题，则命题“∀x∈（0，+∞），ex≥x+1”的否定是∃x∈（0，+∞），ex ＜x+1， 故选：C． 3．已知﹣1＜a＜0，b＜0，则 b，ab，a2b 的大小关系是（　　） A．b＜ab＜a2b 解：取特殊值：a＝ B．a2b＜ab＜b C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab ，b＝﹣1，则 ab＝ ，a2b＝﹣ ， 故 b＜a2b＜ab， 故选：D． 4．函数 y＝f（x）在 x＝0 处的切线 l 经过点（1，0），如图所示，则 f′（0）+f′（﹣1）＝ （　　） A．0 B．﹣1 C．1 解：由图可知，x＝﹣1 是函数的极大值点，则 f′（﹣1）＝0， D．2 又函数 y＝f（x）在 x＝0 处的切线 l 经过点（1，0）， ∴直线 l 的斜率 k＝ ＝﹣1，即 f′（0）＝﹣1． ∴f′（0）+f′（﹣1）＝﹣1+0＝﹣1． 故选：B． 5．已知数列{an}和{bn}满足 bn＝|an|，则“数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：数列{an}和{bn}满足 bn＝|an|，则“数列{an}为等比数列”⇒“数列{bn}为等比数列”， 反之不成立：例如：bn＝1，an 为：1，1，﹣1，1，……， ∴数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的充分不必要条件． 故选：A． 6．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分 类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（ pào）、 竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐 器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（　　） A． B． C． D． 解：八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法， 分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音． 其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器． 现从“八音”中任取不同的“两音”， 基本事件总数 n＝ ， 含有打击乐器包含的基本事件个数 m＝ ∴含有打击乐器的概率为 p＝ ＝ ＝22， ． 故选：B． 7．已知{an}是等差数列，公差 d＜0，前 n 项和为 Sn ，若 a3 ，a4 ，a8 成等比数列，则（ 　） A．a1＞