6.2.2 向量的减法运 算 向量的加法： r b ab r b 首尾相接 C a A a B r r uuu r r uuur r 已知非零向量 a 、b , 在平面内 任取一点 A， 作 AB  a, BC  b, uuur r r r r 则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a  b, 即 r r uuu r uuur uuur a  b  AB  BC  AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 向量的加法： b O C ab r a 起点相同 B A r r 以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作YOACB, uuur r r r r 则以O为起点的对角线OC就是 a与 b 的和 a  b, 即 r r uuu r uuu r uuur a  b  OA  OB  OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。 总体回顾 1. 向量加法的三角形法则 （要点：两向量首尾连接） （要点：两向量首尾连接） 2. 向量加法的平行四边形法则 （要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边） （要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边） 3. 向量加法满足交换律及结合律 a  b b  a (a  b)  c a  (b  c) 走进新课 uu r uu r 已知：两个力的合力为F 其中一个力为 F1 uu r 求：另一个力 F2 F F2 F 1 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 a  b a  ( b) 定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 r r r r 表示： a  b  a  (b), 说明：r １、与 b 长度相等、方向相反的向量， r 叫做 b 的相反向量 ２、零向量的相反向量仍是零向量 ３、任一向量和它相反向量的和是零向量 r  a （1）- (-a) = ______ 练习 1 r r     0 0 (2)a + (-a) = _____ (-a)+ a = ______  (3)如 果 a,b互 为 相 反 的 向 量 ， 那 么 r r  r    -a 0 a = ______,b = ______,a + b = ______ -b 已知a, b,根据减法的定义，如何作出a  b呢？ b a B a b b b O a A r r D 方法：平移向量使它们起点相同，那么 a, b, r r r r b的终点指向的终点的向量就是 a a  b. C 　　在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数 r r 的相反数 . 据此原理，向量 可以怎样理解？ a -　　　 b 向量的减法定义： r r r r a - b = a + (-b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向 量 向量减法的三角形法则  1 在平面内任取一点O uuur r uuu r r  2 作OA  a,OB  b uu r r r  3 则向量BA  a  b A a b a O . B b 注意： 1 、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2 、差向量的终点指向被减向量的终点 向量的减法 • 特殊情况 1. 共线同向 a r r a b A C 2. 共线反向 r a r b B b r r a b B A C r r r u r 例 已知向量 a, b, c, d 1r r 。 a b r ur r u r cd r a b d r c r r r r u ，求作向量 a  b c ，d A r a B D r r u b d O 作法： r C c uuur r uuur r uuur r uuur ur 作 OA  a, OB  b, OC  c, OD  d , 在平面内任取一点 uuu r r r O， 则 BA  a  b uuur r ur DC  c  d 注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点 。 练习 2 已知：向量 a,b,c,d, 求作向量 a-b,cd。 b a BA =a-b DC =c-d d c B A a b d c O D C 例 2 　已知向量 a,b,c, 求作向量 aC b+c. c D Ｂ b Ｏ Ａ a 解 在平面上任取一点O，作OA a, 作OB b, 则BA a  b。 再作 BC c, 并以BA和BC为邻边作BADC， 则BD BA  BC a  b  c。 练习 3: 如图：平行四边形 ABCD 中a,, AD b, AB  用b 表示向量AC , DB. a, D 解：由向量加法的平行四边形法则，得 uuur r r AC  a  b; 由向量的减法可得， uuur uuu r uuur r r DB  AB  AD  a  b. b A a B C uuur uuur uuur uuur 例 3 : 化简 (AB - CD)-(AC - BD) uuur uuur uuur uuur 解 (AB - CD)-(AC - BD) : uuur uuur uuur uuur =AB - CD- AC +BD uuur uuur uuur uuur =AB +DC +CA+BD uuur uuur uuur uuur =(AB+BD)+(DC +CA) uuur uuur u v =AD+DA =0 练习 4 (1)化简 AB  AC  BD  CD 解 : 原式 CB  BD  CD CD  CD 0 (2)化简OA  OC  BO  CO 解 : 原式 (OA  BO)  (OC  CO) (OA  OB)  0 BA 例 4 　已知 |a|=6,|b|=8, 且 |a+b|=| a- b|, 求 |auuu r v uuur v b|. 解设作以和为邻边 AB  a, AD  b, AB AD 作平行四边形。则 r r v r ABCD uuur r r uuur r r AC  a  b, DB  a  b Q| a  b || a  b | uuu r uuu r | AC || DB | B 又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为矩形，AD  AB C a A uuur uuur 2 uuur 2 | DB | | AB |  | AD |  6 2  82  10 r r v v | a  b || a  b | 10 b D 练习 5: 如图：平行四边形 ABCD AB 中 a, , AD b, D AC , DB. a,用b 表示向量 变式一 : 在本例中 , 当 a,b 满足 b 什么条件时 ,a+b 与 a-b 相互垂直 ? A B a 变式二 : 在本例中 , 当 a,b 满 足 什么条件时 ,|a+b|=|a-b|? 变式三 : 在本例中 , a+b 与 a-b 有可能相等吗 ? C 变式四 : 在本例中 ,|a|, |b|,|a+b|,|a-b| 有什么关系 ?