2019-2020 学年度第一学期期末学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1. tan15o = A. 2+ 3 2.方程 A. B. log 3 x  5  x (0,1) 2- 3 3+1 C. 3- 1 D. 的根所在的区间为 B. (1, 2) C. (2,3) D. (3, 4)  3.已知  是第一象限角，那么 2 是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 4.一个扇形的弧长为 6 ，面积为 6 ，则这个扇形的圆心角为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.某商家准备在 2020 年春节来临前连续 2 次对某一商品销售价格进行提价且每次提价 10% ，然后在春节活动期间连续 2 次对该商品进行降价且每次降价 的最终售价与原来价格相比 A.略有降低 B.略有提高  6.若   x  2 ，则 C.相等 1  cos 2 x 1  cos 2 x   cos x sin x 10% ，则该商品 D.无法确定 A. 2 2 B. 2 2 C. 0 D. 2 7.如图，某港口一天中 6 时到 18 时的水深变化曲线近 满足函数 y  3sin( x   )  k 似 ，据此可知，这段时 间 水深（单位： m ）的最大值为 A. 5 B. 6 C. 8 A. abc 10 g ( x)  log 2 x  x f ( x)  x 3  x 8.已知函数 D. ， B. h( x )  2 x  x ， bac C. ca b a, b, c 的零点分别为 D. ，则 bca 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。  f ( x)  cos( x  ) 9.已知函数 6 ，则 B. y  f ( x) 的图象关于直线 A. 2 为 f ( x) 的一个周期  ( , ) C. f ( x ) 在 2 上单调递减 x 4 3 对称  D. f ( x   ) 的一个零点为 3 10.若 a  b  0 ， 0  c  1 ，则 A. log c a  log c b B. c  c a b C. a  b c c D. log c ( a  b)  0 11.如图，摩天轮的半径为 40m ，其中心 O 点距离地面的高度为 50m ，摩天轮按逆时针 方向做匀速转动，且 20 min 转一圈，若摩天轮上点 P 的 起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中 A.经过 10 min 点 P 距离地面 10m 1 B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的 2 倍 C.第 17 min 和第 43min 时 P 点距离地面的高度相同 20 min D.摩天轮转动一圈， P 点距离地面的高度不低于 70m 的时间为 3 f ( x) 12.已知函数 则称函数 A. y =x f ( x) 的定义域为 为“ D ，若对 x �D ， y �D ，使得 f ( y )   f ( x) 成立， M 函数”.下列所给出的函数中是“ M 函数”的有 2 B. y 1 x C. y  2 x 1 D. y  ln  x  1 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 f ( x)  log 2 x  1 的定义域为 13.函数 tan   3 14.已知 f ( x)  3 15.已知函数 f ( x) 若 ，则 在 [m, �) （结果用区间表示）. sin 2   sin 2  xa . (a �R ) 满足 f ( x)  f (2  x) ，则实数 a 的值为________； 上单调递增，则实数 m 的最小值等于________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16.在角 1、、、、  2  3 �  30 标为 的终边上分别有一点 (sin(15o  k o),sin(75o  k o)) P1、、、、 P2 P3 � P30 ，如果点 Pk 的坐 ， 1 �k �30 , k �N ，则 cos1  cos 2  cos3  �  cos 30  ______． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 求下列各式的值： log3 （1） 3 1 4  2log 9 2  log 3 2 9 （2） (1)0  (2  4  10  13 )  ( 8) 3 27 18.（12 分）  x 的 已知角 ( 5 2 5 , ) 5 5 顶点与坐标原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边过点 .  3 cos(2  )  2sin      cos(  ) 2 2  2 2 cos (  )  sin  2    （1）求 的值； 2  （2）已知   0 2 sin    ，且 10 10 ，求 cos(   ) 的值. 19.（12 分） 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现 9000 万元的投资收益目 标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到 3000 万元时，按投 资收益进行奖励，要求奖金 y （单位：万元）随投资收益 x （单位：万元） 的增加而增加，奖金总数不低于 100 万元，且奖金总数不超过投资收益的 20% . （1）现有三个奖励函数模型：① ③ f ( x)  100 log 20 x  50 f ( x )  0.03x  8 ， ，② x �[3000,9000] f ( x)  0.8x  200 ， .试分析这三个函数模型是否符 合公司要求？ （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到 350 万元，公司的 投资收益至少要达到多少万元？ 20.（12 分）  f  x   Asin   x    ( A  0,   0,  � ) 已知函数 2 的部分图象如图所示. （1）求函数 y = f ( x) 的表达式；  （2）将函数 y = f ( x) 的图象向左平移 6 个单位长度得到 函数 g ( x) x 的图象，若关于 的方程 f ( x)  g ( x)  a  0 在  [0, ] 2 上有实数解，求实数 a 的取值范围. 21.（12 分） 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos 2 15o  cos 2 15o  3 sin15o sin15o ； cos 2 80o  cos2 (50o)  3 sin 80o sin( 50o) ； cos 2 170o  cos 2 (140o)  3 sin170o sin( 140o) ． （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结 论． 22.（12 分） 已知函数 f ( x)  ln kx  1 x  1 为奇函数． （1）求实数 k 的值； （2）判断并证明函数 f ( x) 的单调性； （3）若存在  ,  �(1, �) [ln( m  ，使得函数 f ( x) m m ), ln(m  )] 2 2 ，求实数 m 在区间 [ ,  ] 上的值域为 的取值范围． 2019-2020 学年度第一学期期末学业水平诊断 高一数学参考答案 一、单项选择题 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6. A 7.C 8.B 二、多项选择题 9.AD 10.AC 11.ACD 12.BD 三、填空题 3 14. 10 13. [2, �) 15. 1 ， 1 16. 2- 6 4 四、解答题 1 2 1 9  (log 3 2  log 3 )   2  17.解：（1）原式 4 9 4 4；  （ 2 ）原式 = 3 4  4 1 3 1 1  [( )3 ] 3  (2 2 ) 3  1    2 3 4 4 …………………………5 分 . …………………………10 分 tan  2 18.解：(1)依题意  原式  …………………………2 分 ， sin 2  2sin  ( sin  ) sin  cos   sin 2   2sin 2   sin 2 sin 2   sin  cos  cos   sin  1  tan  1  2   3 sin   cos  tan   1 2  1 …………………………6 分 ； （2）因为  ( 是第一象限角，且终边过点 5 2 5 , ) 5 5 ， sin  所以  因为 2 5 5 , cos  5 5   0 2 10 10 sin    ，且 cos   1  sin 2   所以 …………………………8 分 ， 3 10 10 ， …………………………10 分 ， cos(   )  cos cos +sin sin  所以  5 3 10 2 5 10 2 �  �( ) 5 10 5 10 10 19.解：（1）由题意符合公司要求的函数 f ( x) . 在 …………………………12 分 [3000,9000] 在且对 " x