高三数学试题 2021.1 第 I 卷(共 60 分) 一､选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 2 1.设集合 A  {x |  x  5 x  6 �0}, B  {x | x  2  0} ,则 A∩B= A.[-1,2) B.[-3,2) C.[-2,2) D.(2,6] C.-1+i D.-1-i 2.若复数 z 满足 2 z  z  1  3i ,则 z  A.1+i B.1-i 1 2   4, 4a  6b 的最小值是 3.已知 a>0,b>0,且 a b A. 4  3 4.函数 f ( x)  B.4  2 3 C.8  2 3 D.4  3 3 2sin x  3x cos x  x 2 在[-π,π]的图像大致为 2 2 5.已知直线 l:ax+y-2=0 与⊙C: ( x  1)  ( y  a )  4 相交于 A､B 两点,则△ABC 为钝角三角形的充要条件是 B.a �(2  3, 2  3) A.a∈(1,3) C.a �(2  3,1) �(1, 2  3) D. a �(�, 2  3) �(2  3, �) 6.“微信红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的金额为 10 元,被 随机分配成 1.36 元,1.59 元,2.31 元,3.22 元,1.52 元,供甲乙丙丁戊 5 人抢,每人只能抢一次,则甲乙二人抢到的 金额之和不低于 4.5 元的概率是 A. 1 2 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 7.阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现 就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都 相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二｡今有一“圆柱容球”模型,其圆 柱表面积为 12π,则该模型中球的体积为 A.8 B.4π C. 8  3 D. 8 2  3 C: 8.设双曲线 x2 y 2   1(a  0, b  0) a2 b2 的左焦点为 F,直线 x  2 y  5  0 过点 F 且与双曲线 C 在第一象限的 交点为 P,O 为坐标原点,|OP|=|OF|,则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 D. 5 C.2 二､多选题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分) 9.已知向量 a=(2,1),b=(- 3,1),则 A.(a+b)⊥a B.|a+2b|=5 2 C.向量 a 在向量 b 上的投影是 2 2 5 5 , ) 5 D.向量 a 的单位向量是 5 ( 10.为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度 ,随机抽取了 100 名职工组织了“一带一路”知识竞赛,满 分为 100 分(80 分及以上为认知程度较高),并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图｡从频率分 布折线图中得到的这 100 名职工成绩的以下信息正确的是 A.成绩是 50 分或 100 分的职工人数是 0 B.对“一带一路”认知程度较高的人数是 35 人 C.中位数是 74.5 D.平均分是 75.5 11.若 (1  2 x) 2021  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  L  a2021 x 2021 ( x �R ) ,则 B.a1  a3  a5  L  a2021  A.a0  1 C. a0  a2  a4  L  a2020  32021  1 2 D. 32021  1 2 a a1 a2 a3    L  2021  1 2 22 23 22021 12.关于函数 f ( x)  3 | sin x |  | cos x | 有下述四个结论正确的有 (   , ) 2 2 上单调递增 A.f(x)的最小正周期为 π B.f(x)在 C.f(x)在[-π,π]上有四个零点 D.f(x)的值域为[-1,2] 第 II 卷(共 90 分) 三､填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知直线 y=2x+b 是曲线 y  ln x  3 的一条切线,则 b=____. 14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD⊥底面 ABCD,O 为对角线 AC 与 BD 的交点,若 PD=2, �APD  �BAD   3 ,则三棱锥 P  AOD 的外接球表面积为____. 15.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个 问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边 a,b,c 求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以 小 斜 幂 乘 大 斜 幂 减 上 , 余 四 约 之 , 为 实 , 一 为 从 隅 , 开 平 方 得 积 .” 若 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 , 即 2 1 �2 2 �c 2  a 2  b 2 �� � S c a � �� 4� 2 � �� � �， S 为 三 角 形 的 面 积 ,a,b,c 为 三 角 形 的 三 边 长 , 现 有 △ ABC 满 足 sinA:sinB:sinC  3 : 2 2 : 5 且 SVADC  12 .则△ABC 的外接圆的半径为____. 2 16.F 为抛物线 C : y  4 x 的焦点,过 F 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于 P､Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴于点 M,且|PQ|=6,则|MF|=____. 四､解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) ① a2  a4  6, S9  45 ② Sn  n 2 n ③ an  n (n �2), a  1 1  an 1 n  1 2 2 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中, 并加以解答. a2 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , ___,数列 {bn } 为等比数列 , b1  2a1 , b2  2 , 求数列 {an bn } 的前 n 项和 Tn . 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(本小题满分 12 分) cos B cos C 1   c a 且 a=4,b>a>c. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b (1)求 bc 的值; (2)若△ABC 的面积 S  2 7, 求 cosB. 19.(本小题满分 12 分) 某研究院为了调查学生的身体发育情况,从某校随机抽测 120 名学生检测他们的身高(单位:米),按数据分成 [1.2,1.3],(1.3,1.4],...(1.7,1.8]这 6 组,得到如图所示的频率分布直方图,其中身高大于或等于 1.59 米的学生有 20 人,其身高分别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74, 以这 120 名 学 生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率. (1)求该校学生身高大于 1.60 米的频率,并求频率分布直方图中 m,n,t 的值; (2)若从该校中随机选取 3 名学生(学生数量足够大),记 X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数,求 X 的分布列 和数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,△PAB 为直角三角形,∠APB=90°且 PA  //CD 且∠DAB 为直角,E 为 AB 的中点,F 为 PE 的四等分点且 1 AB  CD, 2 四边形 ABCD 为直角梯形,AB EF  1 EP, 4 M 为 AC 中点且 MF⊥PE. (1)证明:AD⊥平面 ABP; (2)设二面角 A-PC-E 的大小为 α,求 α 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 2 , F , F 2 1 2 已知点 分别是椭圆 C 的左､右焦点,离心率为 点 P 是以坐标原点 O 为圆心的单位圆上的一点,且 uuur uuuu r PF1 � PF2  0. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设斜率为 k 的直线 l(不过焦点)交椭圆于 M,N 两点,若 x 轴上任意一点到直线 MF1 与 NF1 的距离均相等,求 证:直线 l 恒过定,点,并求出该定点的坐标. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x )  a ln x  x  2  2a(a �R). x (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 0a e ex  2 f ( x)  x  . 4 求证 x