3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 一．知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义： 一般地，设 A , B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应；那么就称 f ( x) ， x ∈ R . f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作 y=¿ (2)函数的定义域、值域： 在函数 y=¿ f ( x ) ， x ∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义 域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { y=f ( x ) , x ∈ A } 叫做函数的值 域．显然，值域是集合 B 的子集． （3）函数的四个特征： ⅰ）非空性：函数定义中的集合 A , B 必须是两个非空集合并且是数集.如 y=√ x − 2+ √ 1 − x ，就不是函数（定义域为空集）； ⅱ）任意性： A 中任意一个数都要考虑到，即 A 中每一个元素都有函数值； ⅲ）唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； ⅳ）方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对 应关系就不一定是函数. 2.函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域就是自变量 x 的取值范围.有时函数的定义域可以省略不写， 如果为特殊说明，函数的定义域是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数 x 的 集合. （2）对应关系：对应关系 f 是函数的核心，它是对自变量 x 实施“对应操作”的“程序”或 “方法”，按照这一“程序”,从定义域 A 中任取一个 x ，可在值域 { y∨ y =f ( x ) , x ∈ A } 中找 到唯一的 y 与之对应，同一“ f ”可以“操作”不同形式的变量. （3）值域：对于定义域 A 内函数 y=f ( x ) ，其值域就是指集合 3.相等函数 { y∨ y =f ( x ) , x ∈ A } . 如果两个函数的定义域 相同并且对应关系完全一致，则这两个函数相等.因为定义域和对应 关系相同的两个函数就决定了这两个函数的值域也相同，所以判断两个函数是否相等只需判 断定义域和对应关系这两个方面是否相同即可.这是判断两函数相等的依据． 二．专题讲解 题型一：函数的概念问题 1.判断对应关系是不是集合 A 到集合 B 的函数的方法，主要看三个方面： （1） A , B 必须是非空数集；（2） A 中任何一个元素在 B 中必须有元素与其对 应；（3） A 中任何一个元素在 B 中的对应关系是唯一性. 例 1.下列对应中是集合 A → B 的函数序号为 （2）（4） （1） A=R , B= { x∨x >0 } , f : x → y =|x| 2 （2） A=Z , B=Z , f : x → y=x （3） A=Z , B=Z , f : x → y=√ x （4） A= {− 1≤ x ≤ 1 } , B={ 0 } , f : x → y=0 解析：（1） A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素，故不是从集合 A 到集合 B 的 函数. 2 （2）对于集合 A 中任意一个整数 x ，按照对应关系 f : x → y=x 在集合 B 中都 2 有唯一一个确定的整数 x 与其对应，故是从集合 A 到集合 B 的函数. （3）集合 A 中的负整数没有算术平方根，在集合 B 中没有对应的元素，故不是从 集合 A 到集合 B 的函数. （4）对于集合 A 中的任意一个实数 x ，按照对应关系 f : x → y=0 在集合 B 中 都有唯一一个确定的数 0 与其对应，故是从集合 A 到集合 B 的函数. 变 式 ： 1-1.根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合 A 到集合 B 的函数： （1）（3） （1） A= {1,2,3 } , B= {7,8,9 } , f ( 1 )=f ( 2 )=7 , f ( 3 )=8 （2） A=R , B= { y ∨ y >0 } , f : x → y=|x| （3） A=Z , B={ −1,1 } , n 为奇数， f ( n )=−1 ， n 为偶数， f ( n )=1 2.判断两个函数是否为同一个函数的方法： （1）一看定义域，二看对应关系，若定义域和对应关系有一个不同，则不是同一个函 数 （2）若定义域相同，对应关系一致，则是同一个函数. 例 2.判断下列各组函数是否表示同一函数： （1） f ( x )=2 x+ 1 与g ( x ) =√ 4 x +4 x +1 2 （3） f ( x )=|x −1|与g ( x )= x −1 x2 − x ( ) 与g ( x )=x − 1 （2） f x = x 3 3 （4） f ( x )=x与f ( t )=( √ t ) 解析：（1） g ( x ) =|2 x+1| ， f ( x ) 与 g ( x ) 的对应关系不同，则是不同函数. （2） f ( x )=x −1 , ( x ≠ 0 ) ， f ( x ) 与 g ( x ) 的定义域不同，则是不同函数. （3） f ( x )= { x −1 , x ≥1| ， f ( x ) 与 g ( x ) 的定义域相同，对应关系一致，则是同 一函数. （4）虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，则是 同一函数. 变式： 1-2. f ( x ) 与 g ( x ) 表示同一函数的是（ A . f ( x ) =x 2 , g ( x ) =√ x 2 2 C . f ( x )= x −9 ( ) , g x = x −3 x+3 3 C . y=x , y =√ x 3 ） B . f ( x )=1 , g ( x ) =( x −1 )0 √ x ¿2 x ¿ g ( x) = 2 ， ¿ ( √x ) D. f ( x )=¿ 1-3.列各组函数是否表示同一函数的是（ A . y =√ x 2 −4 , y=√ x+2 ⋅ √ x − 2 D C ) B . y= √ x − 1 , y = D. y=|x| , y =( √ x ) 2 x2 − 1 x +1 3.函数求值问题的解法 （1）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数 值，若自变量的值包含字母的代数式时，可将代数式整体代入即可. （2）已知函数解析式，求对应函数值的自变量（或解析式中参数值），只需将函数值 代入解析式，建立方程即可求解. 1 例 4.已知 f ( x )= 2− x , ( x ≠ 0 ) , g ( x )=x + 4 ， （1）求 f ( 1 ) , g ( 1 ) ，（2）求 f ( g ( 1 ) ) , g ( f ( 1 ) ) ，（3）求 f ( g ( x ) ) , g ( f ( x ) ) 1 解析：（1） f ( 1 )= 2 −1 =1 , g ( 1 )=1+ 4=5 1 1 （2） f ( g ( 1 ) )=f ( 5 )= 2 −5 =− 3 , g ( f ( 1 ) )=g ( 1 )=1+ 4=5 1 1 1 1 （3） f ( g ( x ) )=f ( x+ 4 )= 2 − ( x + 4 ) =− 2+ x ， g ( f ( x ) )=g 2 − x = 2 − x + 4 ( ) 例 5.已知函数 f ( x ) 对任意实数 a , b 都有 f ( ab )=f ( a ) +f ( b ) 成立， （1）求 f ( 0 ) , f ( 1 ) 的值，（2）若 f ( 2 )= p , f ( 3 )=q , ( p , q 为常数 ) ，求 f ( 36 ) 的值 解析：（1）令 a=b=0 ，由 f ( ab )=f ( a ) +f ( b ) ，得 f ( 0 )=f ( 0 )+ f ( 0 ) ，解得 f ( 0 )=0 令 a=b=1 ，由 f ( ab )=f ( a ) +f ( b ) ，得 f ( 1 )=f ( 1 ) +f ( 1 ) ，解得 f ( 1 )=0 （2）观察知 36=6 ×6,6=2× 3 ， 令 a=2 ,b=3 ，由题意可得， f ( 6 )=f ( 2 ) + f ( 3 )= p+q ， 令 a=b=6 ，则 f ( 36 )=f ( 6 )+ f ( 6 ) =2 ( p+ q ) . x2 ( ) 变式：1-4.已知 f x = 1+ x 2 1 （1）计算 f ( a )+ f a () f ( a )+ f ( 1a )=1 1 1 1 的值，（2）计算 f ( 1 ) + f ( 2 )+ f 2 + f (3 )+ f 3 + f ( 4 ) +f 4 () () () 的值 1 1 1 7 ， f ( 1 ) + f ( 2 )+ f 2 + f (3 )+ f 3 + f ( 4 ) +f 4 = 2 () 题型二：函数的定义域问题 () () （重点、难点） 1.已知函数的解析式求定义域 求函数定义域的一般原则 （1）如果 f ( x ) 是分式，定义域为分母不为零的实数集合；（2）如果 f ( x ) 是偶次根 0 式，定义域为被开方数不小于零的实数集合；（3） f ( x )=x 的定义域为 { x∨x ≠ 0 } ； （4）如果 f ( x ) 是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的 集合的公共部分. 例 6.求下列函数的定义域 （1） y= ( x +1 )0 √|x|− x （2） y= √− x 2 2 x −3 x − 2 解析：（1）由题意得， { x+ 1≠ 0| ，解得 { x ≠ −1| ，故定义域为 ( − ∞, −1 ) ∪ ( −1,0 ) （2）由题意得， { − x ≥0| ，解得 { x ≤ 0| ，故定义域为 (− ∞, − 12 ) ∪ ¿ 变式：2-1.求下列函数的定义域 1 （1）函数 f ( x )= √ x +2+ x −1 的定义域是 （2）函数 f ( x )= 3 的定义域是 1− √ 1 − x 2.复合函数（抽象函数）的定义域 ( −2,1 ) ∪ ( 1 ,+ ∞ ) ( − ∞, 0 ) ∪ ¿ （1）复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做 复合函数. y=f [ g ( x ) ] ， 令 ： （2）复合函数形式： t=g ( x ) ， 则