专题 05 函数、基本初等函数 I 的图像与性质 概 本质：定义域内任何一个自变量对应唯的函数值。两函数相等只要定义域或对应法则相 念 同即可。 表 解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值 示 域是各段值域的并集。 方 法 （1） 对定义域内一个区间 是增函数 是减函数 （2） 是 增 （ 减 ） 函 数 单调性 偶函数在定义域关 函数概念及 于坐标点对称的区 其表示 间上具有相反的单 的恒成立。 性 调性、奇偶数在定 义域关于坐标原点 质 圣水称的区间上具 （3） 有相同的单调性。 恒成立。 对定义域内任意 ， 是偶函数 是奇函数 奇偶性 ，偶函数图象关于 轴对称， 奇函数图象关于坐标原点对称。 周期性 对定义域内任意 （1）若 ，存在非零常数 ，则 一 个 周 期 （ 2 ） 对 于 非 零 常 数 是周期函数， ， 函 数 是它的 满 足 ，则函数 的一个周期为 。则函数 . （3）若 的一个周期为 。 两个函数的图象对称性 （1） 与 关于 换种说法： 关于 与 若满足 ，即它们 对称。 （2） 与 关于 换种说法： 与 们关于 若满足 与 与 它们关于 若满足 ，即 与 说 法 关于直线 ： （5） 对称。 与 若 ，即它们关于点 们关于点 对称。 对称。 （4） 法： ，即它 关于直线 换种说法： 种 轴对称。 对称。 （3） 换 轴对称。 与 若满足 对称。换种说 ，即他 对称 （6） 单个函数的对称性 与 足 对称。 关于点 与 满 关于直线 对称。 （1） 函 数 满 足 时 ， 函 数 的图象关于直线 （2） 函数 对称。 满足 时，函数 的图象关于点 （3） 对称。 函数 的图象与 的图象关于直线 对称。 对称性与周期性的关系 （1）函数 满足 ，则函数 是周期函数，则 （2）函数 是一个周期。 满足 时， 函数 是周期函数。（函数 时，函数 是函数的一个周期），函数 （3）函数 图象有两个对称中心 是周期函数，且对称中心距离两倍， 是以 有一个对称中心 为周期的函数。 和一个对称轴 时，该函数也是周期函数，且一个周期是 （4）若定义 上的函数 对称，则 （ 5 ） 若 函 数 。 的图象关于直线 是周期函数， 和点 是它的一个周期。 对 定 义 域 内 的 任 意 满 足 ： ，则 足 为函数 则 的周期。（若 的图象以 满 为图象的对称轴， 应注意二者的区别）。 （ 6 ） 已 知 函 数 对 任 意 实 数 ，则 基本初等函 数1 是以 ， 都 有 为周期的函数 指对幂的 运算规则 ； 1.正数的正分数指数幂： ； 2.正数的负分数指幂： 3.0 的正分数指数幂等于 0:0 的负分数指数幂没有意义。 4. 幂 的 运 算 性 质 ： ， 其 中 . 5.对数的概念 如果 ，那么数 ，其中 叫作以 叫作对数的底数， 作为底 叫作真数。 6.对数的性质与运算法则 （1）对数的运算法则 如果 且 ， ，那么 ； 1 ； ② ；④ ③ （2）对数的性质 ① ；② （3）对数的重要公式 的对数，记作 ① 换底公式： ，推广 ② 幂函数 y= 1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x2 y＝x－1 定义域 值域 奇偶性 R R 奇 R R 奇 [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶 单调性 增 R [0，＋∞) 偶 x∈(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 x∈(0，＋∞)减 a x 图 象 x∈(－∞，0]减 公共点 x∈(－∞，0)减 (1,1) 指数函数 y= a x a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 R (0，＋∞) (0,1)，即当 x＝0 时，y＝1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 非奇非偶函数 函数 y＝ax 与 y＝a－x 的图象 对称性 关于 y 轴对称 对数函数 y= log a x a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 对勾函数 高考真题 1.2020 年普通高等学校招生全国统一考试卷一（理科， 12）若 ） ，则（ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，利用作差法结合 【详解】设 ，则 的单调性即可得到答案. 为增函数， 因为 所 以 ， 所以 ，所以 . ， 当 时， 当 时， ，此时 ，此时 ，有 ，有 ，所以 C、D 错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中 档题. 2.2020 年普通高等学校招生全国统一考试卷二 （1）（理科，9）设函数 ，则 f(x)（ ） A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是奇函数，且在 单调递减 C. 是偶函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇偶性的定义可判断出 可判断出 为奇函数，排除 AC；当 单调递增，排除 B；当 时，利用函数单调性的性质 时，利用复合函数单调性可判断出 单调 递减，从而得到结果. 【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除 AC； 当 时， ， 在 在 当 上单调递增， 在 上单调递减， 上单调递增，排除 B； 时， ， 在 上单调递减， 根据复合函数单调性可知： 在 在定义域内单调递增， 上单调递减，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根 据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调 性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. （2）（理科，11）若 ，则（ A. B. ） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选 项中真数与 的大小关系，进而得到结果. 【详解】由 得： 令 ， ， 为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ， ， ， 与 的大小不确定，故 CD 无法确定. ，则 A 正确，B 错误； 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得 到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 3.2020 年普通高等学校招生全国统一考试卷三（理科，3,12） (1) .Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺 炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： 当 I( )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 A. 60 B. 63 C. 66 约为（ ，其中 K 为最大确诊病例数． ）（ln19≈3） D. 69 【答案】C 【解析】 分析】 将 代入函数 结合 【 详 解 】 求得 即可得解. ， 所 以 ， 则 ， 所以， ，解得 . 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. (2)已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b ） 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得 、 、 ，得 ，结合 ，可得出 【 详 解 ，利用作商法以及基本不等式可得出 可得出 ，综合可得出 】 由 题 、 、 意 ，由 、 的大小关系，由 ，得 ，结合 的大小关系. 可 知 、 、 ， ， ； 由 ，得 由 ，得 综上所述， ，由 ，由 ，得 ，得 ， ，可得 ， ，可得 ； . . 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应 用，考查推理能力，属于中等题. 4.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷， 4）函数 y=xcosx+sinx 在区间[–π，π]的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 【详解】因为 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. ，则 ， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项 CD 错误； 且 时， ，据此可知选项 B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域， 判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． （2）（浙江卷，9）已知 a，b A. a<0 B. a>0 C. b<0 R 且 ab≠0，对于任意 x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ D. b>0 ） 【答案】C 【解析】 【分析】 对 分 与 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点 为 当 时，则 即 ，且 当 时，则 综上一定有 ， ，要使 ，所以 ，必有 ，且 ， ； ， ，要使 ，必有 . . 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 5.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南，7,8,9） （1）已知函数 A. 在 B. C. 上单调递增，则 的取值范围是（ D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出 的定义域，然后求