冲刺高考 （文科数学）　等差数列 、等比数列 考点一　等差、等比数列的基本运算 —— 结合问题找各量，对应公式建关系 1 ．通项公式 a1 ______________ ＋（ n － 1 ） d ； 等差数列： an ＝ n － 1 1·q 等比数列： an ＝ a______________ ．   2 ．求和公式   na1 ＋ d 等差数列： Sn ＝ ______________ ＝ ______________ ；     等比数列： Sn ＝ ______________ ＝ ______________(q≠1) ． [ 例 1] 　等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S17 ＝ 51 ，则 2a10 － a11 ＝ ( 　　 ) A．2 B．3 C.4 D．6 答案： B   解析：方法一　∵ S17 ＝ 51 ，∴＝ 51 ，可得 a1 ＋ a17 ＝ 6 ＝ 2a9 ，解得 a9 ＝ 3 ，∴ 2a10 － a11 ＝ a9 ＋ a11 － a11 ＝ a9 ＝ 3. 故选 B. 方法二　 S17 ＝ 17a9 ＝ 51 ，得 a9 ＝ 3 ，则 2a10 － a11 ＝ a9 ＋ a11 － a11 ＝ a9 ＝ 3. 故选 B. (2) 已知各项均为正数的等比数列 {an} 的前 3 项和为 21 ，且 a1 ＝ 3 ，则 a3 ＋ a5 ＝ ________ ． 答案： 60   解析：设等比数列 {a } 的公比为 q ，显然 q≠1 ，由题意得 得 q ＝ 2 ，∴ a3 ＋ a5 ＝ a1q2 ＋ a1q4 ＝ 12 ＋ 48 ＝ 60. n 归纳总结 等差 ( 比 ) 数列基本运算的解题思路 (1) 设基本量 a1 和公差 d( 公比 q) ． (2) 列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 d(q) 的方程 ( 组 ) ，然后求解，注意整体计算，以减少 运算量． 将例 1(2) 中“等比数列”改为“等差数列”，其它条件不变，则 a3 ＋ a5 ＝ ________ ． 答案： 30   解析：设等差数列 {an} 的公差为 d. 由题意， S3 ＝ 3a1 ＋ d ＝ 3×3 ＋ d ＝ 21 ，得 d ＝ 4 ， ∴a3 ＋ a5 ＝ (a1 ＋ 2d) ＋ (a1 ＋ 4d) ＝ (3 ＋ 8) ＋ (3 ＋ 16) ＝ 30.   对点训练 1. 若等比数列 {an} 满足 a1 ＋ a2 ＝ 1 ， a4 ＋ a5 ＝ 8 ，则 a7 ＝ ( 　　 ) A． B ．－ C． D ．－ 答案： A  解析：设等比数列 {a } 的公比为 q ，则＝ q ＝ 8 ，所以 q ＝ 2 ，又 a1 ＋ a2 ＝ a1(1 ＋ q) ＝ 1 ， a1 ＝，所以 a7 ＝ a1×q6 ＝ ×26 ＝ . 故选 A. n 3   2 ．记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和．若 a5 － a3 ＝ 12 ， a6 － a4 ＝ 24 ，则＝ ( 　　 ) A ． 2n － 1 B ． 2 － 21 － n C ． 2 － 2n － 1 D ． 21 － n － 1 答案： B   解析：设等比数列 {an} 的公比为 q ，则＝＝ q ＝＝ 2 ，∴＝＝ 2 － 21 － n . 故选 B. 3 ．记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和．若 a1 ＝－ 2 ， a2 ＋ a6 ＝ 2 ，则 S10 ＝ ________ ． 答案： 25   解析：设等差数列 {an} 的公差为 d ， 则 a2 ＝－ 2 ＋ d ， a6 ＝－ 2 ＋ 5d ， 因为 a2 ＋ a6 ＝ 2 ， 所以－ 2 ＋ d ＋ ( － 2 ＋ 5d) ＝ 2 ， 解得 d ＝ 1 ， 所以 S10 ＝ 10×( － 2) ＋ ×1 ＝－ 20 ＋ 45 ＝ 25. 考点二　等差、等比数列的性质及应用——分清条件，类比性质 等比数列 * (1) 若 m ， n ， p ， q∈N ， * (1) 若 m ， n ， p ， q∈N ， 且m＋n＝p＋q， 且m＋n＝p＋q， 则 am·an ＝ ap·aq ； 则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq ； (2)an ＝ amqn － m ； 性质 (2)an ＝ am ＋ (n － m)d ； (3)Sm ， S2m － Sm ， S3m － (3)Sm ， S2m － Sm ， S3m － S2m ，…仍成等比数列 (q≠ － S2m ，…仍成等差数列 1)   等差数列 [ 例 2] 　 (1) 设 {an} 是等比数列，且 a1 ＋ a2 ＋ a3 ＝ 1 ， a2 ＋ a3 ＋ a4 ＝ 2 ，则 a6 ＋ a7 ＋ a8 ＝ ( 　　 ) A ． 12 　　 　 B ． 24 C ． 30 D ． 32 答 案 ： D 解析：设等比数列 　 {an} 的公比为 q ， 故 a2 ＋ a3 ＋ a4 ＝ q(a1 ＋ a2 ＋ a3) ， 又 a2 ＋ a3 ＋ a4 ＝ 2 ， a1 ＋ a2 ＋ a3 ＝ 1 ， ∴q ＝ 2 ， ∴a6 ＋ a7 ＋ a8 ＝ q5(a1 ＋ a2 ＋ a3) ＝ 25 ＝ 32 ，故选 D.   (2) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn ＝ 3n2 ＋ 17n ，若 bn ＝ an· ，则数列 {bn} 的最大值为 ( 　　 ) A ．第 5 项 B ．第 6 项 C ．第 7 项 D ．第 8 项 答 案： D 归纳总结 与数列性质有关问题的求解策略 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些 抓关系 特点入手选择恰当的性质进行求解 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调 用性质 性、周期性等，可利用函数的性质解题 　将例 2(1) 中“等比数列”改为“等差数列”，其余条件不变，则 a6 ＋ a7 ＋ a8 ＝ ________ ． 答案： 6  解析：∵ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＝ 1 　① a2 ＋ a3 ＋ a4 ＝ 2 　② ∴② －①得 3d ＝ 1 ， d ＝ . 由①得 3a2 ＝ 1 ，∴ a2 ＝，∴ a1 ＝ 0. ∴a7 ＝ a1 ＋ 6d ＝ 6× ＝ 2. ∴a6 ＋ a7 ＋ a8 ＝ 3a7 ＝ 6.   对点训练 1.{an} 和 {bn} 是两个等差数列，其中 (1≤k≤5) 为常值， a1 ＝ 288 ， a5 ＝ 96 ， b1 ＝ 192 ，则 b3 ＝ ( 　　 ) A ． 64 B ． 128 C ． 256 D ． 512 答 案 ：B   解析：由题可知，＝，则 b5 ＝＝＝ 64 ，故 b3 ＝＝＝ 128. 2 ．已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 ＋ a3 ＝ 10 ， S9 ＝ 72 ，数列 {bn} 中， b1 ＝ 2 ， bnbn ＋ 1 ＝－ 2 ，则 a7b2 020 ＝ ________ ． 答案：－ 10   考点三　等差、等比数列的判定与证明——用定义，巧构造 1 ．证明数列 {an} 是等差数列的两种基本方法 (1) 利用定义，证明 an ＋ 1 － an(n∈N*) 为一常数； (2) 利用等差中项，即证明 2an ＝ an － 1 ＋ an ＋ 1(n≥2) ． 2 ．证明数列 {an} 是等比数列的两种基本方法 (1) 利用定义，证明 (n∈N*) 为一常数； (2) 利用等比中项，即证明＝ an － 1an ＋ 1(n≥2) ．   [ 例 3] 　记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和， bn 为数列 {Sn} 的前 n 项积，已知＝ 2. (1) 证明：数列 {bn} 是等差数列； (2) 求 {an} 的通项公式．   判断和证明数列是等差 ( 比 ) 数列的方法 (1) 定义法：对于 n≥1 的任意自然数，验证 an ＋ 1 － an 为与正整 数 n 无关的一常数． (2) 中项公式法： ① 若 2an ＝ an － 1 ＋ an ＋ 1(n∈N* ， n≥2) ，则 {an} 为等差数列 ； ② 若＝ an － 1·an ＋ 1(n∈N* ， n≥2) 且 an≠0 ，则 {an} 为等比数列 ．   对点训练 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， an k>0. (1) 求证： {Sn ＋ 1} 是等比数列； (2) 证明： Sn ＋ 1 ＝ an － 1. ＋ 1 ＝ k(Sn ＋ 1) ， a1 ＝