第 8 节 等差数列综合问题 【基础知识】 1．等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，或 an－an－1＝d(n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中 n∈N*，a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项)． 3．等差数列及前 n 项和的性质 (1)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A＝． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝； 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)． 5．等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 存在 最小值． 【规律技巧】 1.解决等差数列前 n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当 a1＞0，d＜0 时，Sn 最大⇔ ；②当 a1＜0，d＞0 时，Sn 最小⇔ . 2.在关于正整数 n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近 而定． 3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制， 如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转 化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量． 【典例讲解】 【例 1】在等差数列 时， 中，已知 a1＝20，前 n 项和为 ，且 S10＝S15，求当 n 取何值 有最大值，并求出它的最大值． 【错解一】　设公差为 d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.得 d＝－，an＝20－(n－1)·. 当 an＞0 时，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12 时，Sn 最大，S12＝12×20＋×＝130. 当 n＝12 时，Sn 有最大值 S12＝130. 【错解二】　由 a1＝20，S10＝S15，解得公差 d＝－，令 由①得 n＜13，由②得 n≥12，∴n＝12 时，Sn 有最大值 S12＝130. 易错分析：　错解一中仅解不等式 an＞0 不能保证 Sn 最大，也可能 an＋1＞0，应有 an≥0 且 an＋1≤0. 错解二中仅解 an＋1≤0 也不能保证 Sn 最大，也可能 an≤0，应保证 an≥0 才行． 【针对训练】 1.在等差数列 A、-1 【答案】B 中，若 B、0 =4， =2，则 C、1 =　　　　（　　） D、6 【解析】由等差数列的性质得 ，选 B. 是函数 2.若 的两个不同的零点，且 三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 A．6 B．7 C．8 的值等于（ D．9 【答案】D 3.设 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 C．若 ，则 D．若 ，则 ，则 【答案】C 4.设 是数列 的前 n 项和，且 ， ，则 ________． 【答案】 【解析】由已知得 ，两边同时除以 ，故数列 ，所以 5.在等差数列 是以 为首项， ，得 为公差的等差数列，则 ． 中，若 ，则 . = 【答案】10． 【解析】因为 是等差数列，所以 ， 这 ） 即 ，所以 ，故应填入 6.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 ． ． 【答案】5 【解析】设数列的首项为 ，则 ，所以 ，故该数 列的首项为 ，所以答案应填：5． 【练习巩固】 1．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若 a1＋1，a3＋3，a5＋5 构成公比为 q 的等 比数列，则 q＝________. 【答案】1　 2．（2014·北京卷）若等差数列{an}满足 a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n＝________时， {an}的前 n 项和最大． 【答案】8　 【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n＝8 时，数列{an} 的前 n 项和最大． 3．（2014·福建卷）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，S3＝12，则 a6 等于(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C　 【解析】设等差数列{an}的公差为 d，由等差数列的前 n 项和公式，得 S3＝3×2＋d＝ 12，解得 d＝2，则 a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12. 4．（2014·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1，a2，a5 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式． (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn>60n＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由． 【解析】(1)设数列{an}的公差为 d， 依题意得，2，2＋d，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化简得 d2－4d＝0，解得 d＝0 或 d＝4. 当 d＝0 时，an＝2； 当 d＝4 时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 从而得数列{an}的通项公式为 an＝2 或 an＝4n－2. 5．（2014·湖南卷）已知数列{an}满足 a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*. (1)若{an}是递增数列，且 a1，2a2，3a3 成等差数列，求 p 的值； (2)若 p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 6．（2014·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 【答案】C　【解析】令 bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以＝＝2a1(an＋1－ an)＝2a1d<1，所得 a1d<0. 7．（2014·全国卷）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝10，a2 为整数，且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－ 1，其中 λ 为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ. (2)是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ. (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1. 若{an}为等差数列，则 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4，故 an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列．