高中数学人教 A 版（2019）选择性必修一全书综合复习检 测 一、单选题 r � 1� n� 2,1, � 2� 1．若平面    ，且平面  的一个法向量为 � ，则平面  的法向量可以是 （ ） � 1 1� �1, , � A． � 2 4 � 2．已知直线 B． (2, 1, 0) l1 : ax  y  3  0 A．2 3．抛物线 C． (1, 2, 0) l2 : ( a  2) x  y  1  0 B．1 y 2  2 px( p  0) A．1 OABC 互相平行，则 a 等于（ 的焦点到直线 y  x 1 的距离为 C． 中， G 是 ABC 2 ，则 2 2 的重心，若 ） D． 1 C．0 B．2 4．在空间四边形 （ ， �1 � � ,1, 2 � D． �2 � p （ ） D．4 uuu r r uuu r r uuur r OA  a, OB  b, OC  c ，则 uuur OG 等于 ） 1r 1r 1r B． a  b  c 3 3 3 1r 1r 1r A． a  b  c 2 2 2 5．已知空间三点 A  2, 0,8  60°，则实数 m  （ A．1 ， C． ar  br  cr P  m, m, m  ， B  4, 4, 6  6．已知直线 ： uuu r uuu r PA PB ，若向量 与 的夹角为 ） C． 1 B．2 l D． 3ar  3br  3cr x cos   y sin   1 与圆 O ： x2  y2  6 D． 2 交于 A B ， 两点．下列说法：① 线段 AB 的长度为定值；②圆 方程为： x2  y2  1 O l 2 AB 上总有 4 个点到 的距离为 ；③线段 的中点轨迹 ．其中正确的个数是（ A．0 B．1 C．2 7．关于直线和圆．下列说法正确的是（ A．直线 B．直线 3x  y  2  0 l : y  kx  3 D : ( x  2) 2  y 2  4 D．3 ） y 在 轴上的截距为 2 l : mx  y  1  0 C．若直线 D．圆 ） 恒过定点 与圆 (0,1) C : ( x  2)2  ( y  1) 2  4 l 相切，则直线 与圆 的位置关系是相交 O : x2  y2  4 上点 E ，圆 M : x2  y2  4x  2 y  0 上点 F ，则 | EF | 的最大值为 2 52 8．以原点为对称中心的椭圆 C1 , C2 交 所得的弦中点分别为 直线 l 的斜率为( A． C1 , C2 y x 焦点分别在 轴， 轴，离心率分别为 M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，若 x1 x2  2 y1 y2 �0 ， e1 , e2 ，直线 2e12  e22  1 ，则 ) � B． �2 C． �2 D． �2 2 二、多选题 0) ，则反射光线所在直线还经过下列 4) 射入，经 y 轴反射后经过点 (5， 9．光线自点 (2， 点（ A． ） (9， 8) B． (31) ， 10．设 F1 、 F2 分别是双曲线 C ： A B ， 两点，若 VABF1 C． x2  (7，  1) D． (12，  4) y2 1 b 的左右焦点，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 为正三角形，则下列结论正确的是（ ） l A． C． b2 C 的离心率为 11．已知 A1 D A． B． B． A1 D E, F 与 与 3 D． 分别是正方体 B1 D1 EF ABCD  A1 B1C1D1 的棱 C 的焦距是 VABF1 BC 和 2 5 的面积为 CD 4 3 的中点，则（ ） 是异面直线 所成角的大小为 45o 1 C． A1 F 与平面 B1EB 所成角的余弦值为 3 6 C  D B  B 1 1 D．二面角 的余弦值为 3 12．已知点 F 为椭圆 P ， Q 两点，点 M C: x2 y2  1 a 2 b2 （ a  b  0 ）的左焦点，过原点 O 的直线 l 交椭圆于 P 是椭圆上异于 ， Q 的一点，直线 MP ， 2 的离心率为 e ，若 PF  3 QF ， �PFQ  ，则（ 3 A． e 7 4 B． e 3 4 C． MQ 分别为 k1 ， k2 ，椭圆 ） k1k2   9 16 D． k1k2  9 16 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13．设空间向量 r a   1, 2, 3 r ，则 a 在坐标平面 Oxy 上的投影向量是___________. 14．动直线 ax  (1  a ) y  2  0 ， a �R 恒过的定点是________ C :  x  2    y  3  9 2 15．已知圆 AB 2 ，过点 M  1,1 的直线 l 与圆 C 交于 A ､ B 两点，弦长 最短时直线 l 的方程为______. 16．阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的 数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 π 等于椭圆的长半轴与短半轴的乘 x2 y2  2  1  a  b  0 2 b 积.已知平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： a 的面积为 2 3π ，两焦 点与短轴的一个顶点构成等边三角形.则椭圆 C 的标准方程___________.若过点 P  1, 0  的直线 l 与 C 交于不同的两点 A ， B ，则 VOAB 面积的最大值___________. 四、解答题 17．一艘科考船在点 O 处监测到北偏东 30°方向 40 海里处有一个小岛 A，距离小岛 10 海里范围内可能存在暗礁． （1）若以点 O 为原点，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系， 写出暗礁所在区域边界的⊙A 方程． （2）科考船先向东行驶了 50 海里到达 B 岛后，再以北偏西 30°方向行驶的过程中，是 否有触礁的风险？ 18． （1）已知直线 M  2, 1 y 3 x 1 的倾斜角为  ，另一直线 l 的倾斜角   2 ，且过点 3 ，求 l 的方程. （2）已知直线 l 过点 P  2, 3 ，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求直线 l 的方程. 19．某建筑物的上层框图如图所示，其上下底面是平行的两正方形，上下底面的中心 连线垂直于上下地面，且各侧棱均相等（即为正棱台），经测量得知 侧棱长为 34 2 AB  A1 B1  12 ， ． （1）求证 AC  BB1 ； （2）求二面角 D1  A1 A  B1 的余弦值． 20．如图，三角形 PAB 是半圆锥 PO 的一个轴截面， PO  1 ， AB  2 ，四棱锥 P  ABCD 的底面为正方形，且与半圆锥 PO 的底面共面. （1）若 H 为半圆锥 PO 的底面半圆周上的一点，且 BH //OC ，证明： AH  PC ； （2）在半圆锥 PO 的底面半圆周上确定点 G 的位置，使母线 PG 与平面 PCD 所成角的 10 正弦值为 4 . 21．已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A  0,1 d ，且 PA  d  1 ，记动点 P 的轨迹为曲线 C . ，设动点 P  x, y   y �0  到 x 轴的距离为  1 求曲线 C 的方程：  2 BE 设动直线 DE 与 C 交于 D ， E 两点， y 分别与 轴相交于 22．已知点 M  x, y  M ， N 两点，且 B  2, b  为 C 上不同于 D ， E 的点，若直线 BD ， uuuu r uuur OM � ON  1 ，证明：动直线 DE 恒过定点. 是平面直角坐标系上的一个动点，点 M 到直线 x  4 的距离等于点 M 到点 D  1, 0  的距离的 2 倍，记动点 M 的轨迹为曲线 C ． （1）求曲线 C 的方程； 1 （2）斜率为 2 线 PA、PB （3）设点 与 EQ � 3� P� 1, � B 两个不同点，若直线 l 不过点 � 2 �，设直 的直线 l 与曲线 C 交于 A、 的斜率分别为 E 为曲线 C k PA , k PB ，求 的上顶点，点 的斜率的乘积为常数     0 k PA  k PB P, Q 的数值； 是椭圆 C ，试判断直线 求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 上异于点 PQ E 的任意两点，若直线 EP 是否经过定点，若经过定点，请 参考答案 1．C ∵平面    ，∴平面  的一个法向量与平面  的法向量垂直，即它们的数量积为 0. 1� 1 1 � 1 1 �� 1, , � g� 2,1, � 2   �0 � 2� 2 8 对于 A： � 2 4 �� ，故 A 错误； 1� � (2, 1, 0)g� 2,1, � 4  1  0  5 �0 2� � 对于 B： ，故 B 错误； 1� � (1, 2, 0)g� 2,1, � 2  2  0  0 2� � 对于 C： ，故 C 正确； 1� �1 �� g� 2,1, � 1  1  1  1 �0 � ,1, 2 � 2 2� �� 对于 D： � ，故 D 错误. 故选：C. 2．D ∵两直线平行，∴ a � 1  1� a  2  此时，两直线方程为 l1 : x  y  3  0 ，解得 a  1 , ， l2 : x  y  1  0 ，两直线互相平行，符合题意. 故选：D. 3．B �p � �