2022 年零诊数学文科试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 A. A   x | 1  x  3  1, � B. ， B   x | x  1 ，则 A �B  （  1,3 ） C.  1,1 D.  1, � 1 i 2. 复数 1  i （i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） 3. 命题“ x0 � 0, � ， D. i C. i B. 1 A. 1 lnx0  x0  1 ”的否定是（ ） A. x � 0, � C . x0 � 0, � ， lnx0 �x0  1 ， lnx  x  1 x2 3 4. 设 x �R ，则“ 0  x  5 ”是“ ”的（ B. x � 0, � ， lnx �x  1 D. x0 � 0, � ， lnx0  x0  1 ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ A. 8  32 B. ） 16  32 C. 8  64 3 D. 16  ab a b 6. 设实数 、 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ A. a  b 2 2 b b 1  B. a a  1 64 3 ） C. ac 2  bc 2 D. 3a  3 b  2 7. 华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函 数时往往要作图，那么函数 f  x  1 ln x cos 3 x 的部分图象可能是（ ） 2 A. B. C D. . 8. 如图是民航部门统计的 2021 年春运期间 12 个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅 度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ） A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B. 天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升 C. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 D. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 9. 不等式 ln x  kx �0 恒成立，则实数 k 的取值范围是（ A.  0, e  10. 已知数列 B.  �, e  ） � 1� 0, C. � � e� � 1 � � , �� � D. � e �  an  为等比数列，若 a1 ， a6 为函数 f  x   x 2  33x  32 的两个零点，则 a3  a4  （ A. 10 B. 12 C. 32 ） D. 33 � � f  x   sin  2 x    �   0,0    � 11. 已知函数 2 �的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） � � �  ,0� �对称 A. f  x  的图象关于点 � �3  B. f  x  的图象向右平移 个单位后得到 y  sin 2 x 的图象 6 �� 3 0,  C. f  x  在区间 � � 2� � 的 最小值为 2 � � f �x  � D. � 6 �为偶函数 x2 y2  1 k k  0  直线 l 经 12. 已知抛物线 C : y  2 px  p  0  的焦点 F 与椭圆 25 16 的右焦点重合．斜率为  2 过点 F，且与 C 的交点为 A，B．若 A. 3x  y  3 3  0 AF  3 BF ，则直线 l 的方程是（ B. ） 4 3x  4 y  3 3  0 C. 3x  y  9  0 D. x  3y  3  0 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． r r r r r r c // 2 a  b ，则 k  ______． 13. 已知向量 a   1, 2  ， b   2, 2  ， c   k ,1 ，若   �x  y  2 �0, �x  y  2 �0, � 14. 设变量 满足约束条件 � ，则目标函数 的最大值_______． �x �1, � x, y z  4 x  y �y �1, x2 y 2  1 15. 过双曲线 a 2 b 2 （ a, b  0 ）的右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点 P，  F1 为左焦点，直线 F1P 的倾斜角为 6 ，则双曲线的离心率 e 为_______. 16. 关于函数 ① 函数 f  x f ( x)  x  2 1  e x ，有下列 4 个结论： 的图象关于点  0,1 中心对称； ②函数 f  x 无零点； �1 � ,1� � ④曲线 y  f  x  的切线都不过点  0, 0  ③ 曲线 y  f  x  的切线斜率的取值范围为 � �2 其中错误结论为______． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. 在等差数列 （1）求数列  an  中， a1  8 ， a2  3a4 ．  an  的通项公式； （2）设 bn  4  n �N*  ， T 为数列  b  的前 n 项和，求证1 �T  2 ． n  12  an  n n n 18. 为纪念建党 100 周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取 200 名同学并将其成绩 （百分制，均为整数）分成六组：第 1 组 第5组  40,50  ，第 2 组  50, 60  ，第 3 组  60, 70  ，第 4 组  70,80  ，  80,90  ，第 6 组  90,100 .得到如图所示的频率分布直方图. （1）求 a 的值，并估计这 200 名学生成绩的中位数； （2）若先用分层抽样的方法从得分在  40,50  和  50, 60  的学生中抽取 5 人，然后再从抽出的 5 人中任意 选取 2 人，求此 2 人得分恰在同一组的概率. 19. 如图，四棱锥 ABCD，且 （1）若 E  ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 AB  AE  BE  2 BC  2CD  4 2EM  AM ，求证： CE ∥ AB  BC ， CD ∥ AB ，面 ABE  面 ，点 M 在棱 AE 上． 平面 BDM． （2）当 AE ⊥ 平面 MBC 时，求点 E 到平面 BDM 的距离． M  4, 4  20. 已知抛物线 C : x  2 py ，点 在抛物线 C 上，过点 M 作抛物线 C 的切线，交 x 轴于点 P，点 2 O 为坐标原点． （1）求 P 点的坐标； （2）点 E 的坐标为  2, 1 ，经过点 P 的直线交抛物线于 A，B 两点，交线段 OM 于点 Q，记 EA，EB，EQ 的斜率分别为 k1 ， k2 ， k3 ，是否存在常数  使得 k1  k2   k3 ．若存在，求出  的值，若 不存在，请说明理由． x 1 x f  x   ln x  2 � 21. 已知函数 x  1 ，函数 g  x   ln  x  1  x ln x  x ，函数 h  x   e  ln x  x ，记 g  x 的最大值为 M， （1）求 f  x h  x 的最小值为 N． 的单调区间； （2）证明： M  2 ； （3）求 M  N 的值． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分． � �x  3 cos   sin  22. 在平面直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 � （ 为参数），以坐标原点 O xOy �y  3 sin   cos   为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 � �  sin �   � 2 � 3� . （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； PA �PB （2）设直线 l 与 y 轴 的 交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： 为 定值. 23. 设函数 f  x  x  5  2 x  2 的最小值为 t （1）求 t 的值； 1 1 1 2 a 2b c 1      � （2）若 a，b，c 为 正实数，且 ta 2tb 3tc 3 ，求证： 9 9 3 2. 2022 年零诊数学文科试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 【1 题答案】 【答案】A 【2 题答案】 【答案】B 【3 题答案】 【答案】B 【4 题答案】 【答案】A 【5 题答案】 【答案】A 【6 题答案】 【答案】D 【7 题答案】 【答案】D 【8 题答案】 【答案】C 【9 题答案】 【答案】D 【10 题答案】 【答案】B 【11 题答案】 【答案】D 【12 题答案】 【答案】A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 【13 题答案】 【答案】2 【14 题答案】 【答案】5 【15 题答案】 21 【答案】 3 【16 题答案】 【答案】②③ 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考