（1）空间向量与立体几何（A 卷） ——2021-2022 学年高二数学人教 A 版（2019） 1.在空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD，若 V BCD 是正三角形，且 E 为其重心，则 uuu r 1 uuu r 3 uuu r uuu r AB  BC  DE  AD 的化简结果是( ) 2 2 A. uuu r AB B. 2.如图，在三棱柱 下列向量与 uuur BM uuu r 2BD ABC  A1 B1C1 C. 中，M 为 A1C1 0 D. uuu r 2DE uuur uuu r uuu r AA1  c BC  b AB  a 的中点，若 ， ， ，则 相等的是( ) 1 1 A.  a  b  c 2 2 1 1 B. a  b  c 2 2 1 1 C.  a  b  c 2 2 1 1 D. a  b  c 2 2 3.已知空间 A、B、C、D 四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点且 uuu r 5 uuu r uuur 1 uuur PA  PB  xPC  PD ，则实数 x 的值为( ) 3 3 A. 1 3 B.  1 3 C. 2 3 D.  2 3 4.在四棱锥 uuu r PC  c P  ABCD ，则用基底 中，底面 ABCD 是正方形，E 为 PD 的中点，若 {a , b, c} 表示向量 uuu r BE 1 1 1 B. a  b  c 2 2 2 1 3 1 C. a  b  c 2 2 2 1 1 3 D. a  b  c 2 2 2 a  (2,1, x ) ， b  (2, y, 1) ，若 | a | 5 A.-1 B.1 6.如图所示，在长方体 ABCD  A1 B1C1 D1 A1 B1C1 D1 ，面 BCC1 B1 ， uur PB  b ， 为( ) 1 1 1 A. a  b  c 2 2 2 5.向量 uur PA  a ，且 a  b ，则 C.-4 中， AB  BC  2 ， 的中心，则 E，F 两点间的距离为( ) x y 的值为( ) D.4 AA1  2 ，E，F 分别是面 5 B. 2 A.1 7.已知三棱柱 ABC  A1 B1C1 点，则异面直线 AB 与 3 A. 4 CC1 6 C. 2 的侧棱与底面边长都相等， 3 D. 2 A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 所成的角的余弦值为( ) 5 B. 4 8.如图，在棱长为 a 的正方体 7 C. 4 ABCD  A1 B1C1 D1 中，P 为 3 D. 4 A1 D1 的中点，Q 为 A1 B1 上任意一点， E，F 为 CD 上两个动点，且 EF 的长为定值，则点 Q 到平面 PEF 的距离( ) 5 a A.等于 5 B.和 EF 的长度有关 2 a C.等于 3 D.和点 Q 的位置有关 9.（多选）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 uuu r AD  (4, 2,0) A. AP  AB ， 的中 uuu r AP  (1, 2, 1) ，则下列结论正确的有( ) uuu r AB  (2, 1, 4) ， B. AP  AD uuu r AP C. 是平面 ABCD 的一个法向量 D. uuu r uuu r AP P BD 10.（多选）已知正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 的棱长为 1，点 E、O 分别是 A1 B1 、 A1C1 的中点， uuu r 3 uuu r 1 uuu r 2 uuur P 在正方体内部且满足 AP  AB  AD  AA1 ，则下列说法正确的是( ) 4 2 3 5 A.点 A 到直线 BE 的距离是 5 2 B.点 O 到平面 ABC1 D1 的距离为 4 3 A BD B CD C.平面 1 与平面 1 1 间的距离为 3 D.点 P 到直线 AB 的距离为 11.已知空间向量 � a, b� m, n ，设 25 36 | m | 1,| n | 2, 2m  n 与 m  3n 垂直， a  4m  n, b  7 m  2n ，则 _______________. 12.正三棱柱 ABC  A1 B1C1 ______________. 的所有棱长都相等，则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的余弦值为____ 13.已知 uuu r AB  (1,5， 2) ， uuu r BC  (3,1, z ) uur uuu r uuu r BP  ( x  1, y , 3) AB ⊥ BC ，若 ， ，且 BP  平面 ABC，则 x  y  ___________. 14.已知点 E，F 分别在正方体 CF  2 FC1 ABCD  A1 B1C1 D1 的棱 BB1 ， CC1 上，且 B1 E  2 EB ， ，则平面 AEF 与平面 ABC 所成角的正切值为________________. 15.如图（1），AD 是 △ BCD 中 BC 边上的高，且 AB  2 AD  2 AC ，将 △ BCD 沿 AD 翻折， 使得平面 ACD  平面 ABD，如图（2）所示. （1）求证： AB  CD . （2）在图（2）中，E 是 BD 上一点，连接 AE，CE，当 AE 与底面 ABC 所成角的正切值为 1 时，求直线 AE 与平面 BCE 所成角的正弦值. 2 答案以及解析 1.答案：C r uuu r 1 uuu 解析：如图所示，取 BC 的中点 F，则 BC  BF ，又 E 为正三角形 BCD 的重心，即 DF 上 2 r uuur 3 uuu 靠近 F 的三等分点，所以 DE  DF ，则 2 uuu r 1 uuu r 3 uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB  BC  DE  AD  AB  BF  DF  AD  AF  FD  AD  AD  AD  0 . 2 2 2.答案：A uuur uuur uuuur uuur 1 uuuu r uuuu r 解析： BM  BB1  B1M  AA1  B1 A1  B1C1 2   uuur 1 uur uuu r 1 1 1  AA1  ( BA  BC )  c  (a  b )   a  b  c . 2 2 2 2 3.答案：A 解析：因为空间中的四点 A，B，C，D 共面，但任意三点不共线，且对于该平面外任意一 uur 5 uur uuu r 1 uuu r 5 1 1 点 P，都有 PA  PB  xPC  PD ，所以  x   1 ，解得 x  .故选 A. 3 3 3 3 3 4.答案：C 解析：连接 BD， Q E 为 PD 的中点， uuu r 1 uur uuu r uur uuu r r uur 1 1 1 uur uur uuu  BE  ( BP  BD )  (b  BA  BC )   b  ( PA  PB  PC  PB )  2 2 2 2 r uur 1 1 uur uur uuu 1 1 1 3 1  b  ( PA  PB  PC  PB)   b  (a  c  2b)  a  b  c .故选 C. 2 2 2 2 2 2 2 5.答案：C 解析： 由 Q| a | 5 ab 解得 ，得 y  4 2 ， 4  1  x  5 ，解得 x  0 . a� b  4 y x 0 ，  x  y  4 ， ，故选 C. 6.答案：C 解析：以点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴， AA1 所在直线为 z 轴建立 � 2� F� 2,1, � � 空间直角坐标系，则点 E (1,1, 2) ， � � 2 �，所以 2 uuu r �2 � 6 | EF | (2  1) 2  (1  1) 2  �  2 � �2 �  2 ，故选 C. � � 7.答案：D 解析：设 以 BC 的中点为 AO, OC , OA1 O 所在直线为 ，连接 x AO, A1O 轴， OA1  AA12  AO 2  4a 2  3a 2  a y ，则由题意知 轴， z A1O  平面 ABC , AO  BC ，分别 轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为 2a ，则 ，则 A( 3a, 0, 0), B(0,  a, 0), A1 (0, 0, a) . uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB � AA cos AB, CC1  cos AB, AA1  uuu r uuu1r  所以 AB �AA1 ( 3a, a, 0) � ( 3a, 0, a) ( 3a ) 2  ( a)2 � ( 3a) 2  a 2  3a 2 3  . 2a � 2a 4 8.答案：A 解析：取 B1C1 PG //CD 的中点 G，连接 PG，CG，DP，则 点 Q 到平面 PGCD 的距离，与 EF 的长度无关， B 错.又 ，所以点 Q 到平面 PEF 的距离即 A1 B1 // 平面 PGCD，所以点 A1 到平 面 PGCD 的距离即点 Q 到平面 PGCD 的距离，即点 Q 到平面 PEF 的距离，与点 Q 的位置 无关，D 错. 如图，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，则 C (0, a, 0) ， D (0, 0, 0) ， A1 (a, 0, a) ， uuu r �a �a � � uuur uuur P � , 0, a � DP  � , 0, a � �2 �， DC  (0, a, 0) ， DA1  (a, 0, a) ， �2 �， 设 n  ( x, y