1.4.2.1 用空间向量 研究距离问题 复习回顾 1. 向量的数量积 a b | a || b | cos  a, b  2. 投影向量 A1 B1 | a | cos  a, b  r r b 记，则 u= r |b| r | u | 1 uuuur r r r  A1 B1  (a � u )u b |b| 复习引入 3. 空间两点之间的距离 设,，则 P1 ( x1 , y1 , z1 ) P2 ( x2 , y2 , z2 ) P1 P2 ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z 2 ) | P1 P2 | P1 P2 P1 P2  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2 思考： 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点 到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等 . 如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 探究新知 1. 点到直线的距离 r 探究：单位 已知直线的为是直线上的定点是 l 方向向量 u, A l 直线外一点如何利用这些条件求 l . 点到直线 P l的距离. r uuu r r uuur 设则向量在直线上的 AP  a  , AP l u uuur r r r 投影向量 AQ  (a � u )u. ,P P a 点到直线的距离为 P l uuu r 2 uuur 2 r2 r r 2 PQ  | AP |  | AQ |  a  (a � u) A Q l 探究新知 思考 : 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距 离？ r 求两条平行直线 l, m 之 u 间的距离 , 可在其中一条直 P l 线 l 上任取一点 P, 则两条平 行直线间的距离就等于点 P a 到直线 m 的距离 . m 两条平行直线之间的距离为 uuu r 2 uuur 2 r2 r r 2 PQ  | AP |  | AQ |  a  (a � u) A Q 探究新知 2. 点到平面的距离 r 如图已知平面的法向量为是平面内的定点是平面外一点. ,  n, A  ,P  r 过点作交平面于 P 平面的垂线是直线的方向向量  l,  点则且点到 Q, n l , uuu r uuu r 平面的距离就是  AP在直线上的投影向量 l QP的长度.因此 r n uuu r r r uuu r r AP � n uuu r n AP � n PQ  AP �r  r  r n n n 平面外一点到平面的距离等于连接此点与平 面上的任一点 ( 常选择一个特殊点 ) 的向量在 平面的法向量上的射影的绝对值 . P l P  A Q 探究新知 思考 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两 个平面之间的距离？ • 直线和平面间的距离： 如果一条直线 l 与一个平面 α 平行 , 可在直线 l 上任取一点 P, 将线面距离 转化为点 P 到平面 α 的距离求解 . • 两个平行平面之间的距离 如果两个平面 α, β 互相平行 , 在其 中一个平面 α 内任取一点 P, 可将两个平 行平面的距离转化为点 P 到平面 β 的距离 P Q   P Q  l 典例分析 例 1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中， E 为线段 A1B1 的 中点， F 为线段 AB 的中点 . （ 1 ）求点 B 到直线 AC1 的距离； （ 2 ）求直线 FC 到平面 AEC1 的距离 . 解：以为原点, D1 D1 ,A1 D1C ,所在直线分别为 1 D1 D z D x 轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 y z 1 1 A(1,0,1), B(111) , , , C (0,11) , , C1 (0,1,0), E (1, ,0),，， F (1 1) 2 2 uuu r uuuu r uuu r 1  AB  (0,1,0), AC1  (1,1, 1), AE  (0, , 1), 2 uuur uuur uuur 1 1 1 EC1  (1, ,0), FC  (1, ,0), AF  (0, ,0). 2 2 2 A C F B D1 A1 x E C1 y B1 uuuu r r uuu r r AC1 3 r  (1)取 a  AB  (0,1,0), u  uuuu ( 1,1, 1),   | AC1 | 3 r2 r r 3 则a  1, a � u . 3 点到直线的距离为 B AC1 r2 r r 2 1 6 a  (a � u)  1   . 3 3 uuur uuur 1 （）, 2 Q FC , ,∥，∥平面.  EC1  (1 0)  FC EC1  FC 2 AEC1 点到平面的距离即为直线到平面的距离. F AEC1 FC AEC1 r 设平面的法向量为, AEC1 , n,则  ( x y z) r 1 �r uuu n� AE = y  z  0, � � 2 � r uuur 1 � n� EC1 =  x  y  0. � 2 �x  z , � �y  2 z. r x  1 y  2. , ,是平面的一个法向量. n  (1 2 1) AEC1 取,则, z 1 uuur 又，，点到平面的距离为 Q AF  (0 2 0), F AEC1 1 uuur r (0, ,0) � (1, 2,1) | AF � n| 6 2 r d   . 6 |n| 6 即直线到平面的距离为 FC AEC1 6 . 6 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” : （ 1 ）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示 问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向 量问题； （化为向量问题） （ 2 ）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （ 3 ）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论 . （回到图形） 课堂练习 1. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为线段 DD1 的中点， F 为线段 BB1 的中点 . 5 (1) 求点 A1 到直线 B1E 的距离； 3 30 (2) 求直线 FC1 到直线 AE 的距离； 5 2 (3) 求点 A1 到平面 AB1E 的距离； 3 1 (4) 求直线 FC1 到平面 AB1E 的距离3. D1 A1 B1 E D A C1 F B C 课堂练习 2. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求平面 A1DB 到平面 D1CB1 的距离 . 解 : 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1 (1,0,1), D(0,0,0), B(1,1,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), C (0,1,0)      DA1 (1,0,1), DB (1,10),CB  1 (1, 0 1), B1 D1 ( 1,  1 0)      DA1 / /CB1 , B1D1 / / DB,  DA1 / / CB1 , B1 D1 / / DB,  A1 DB  // D1 A1 D A D1CB   C    A1 DB            B1 . C1 C B  n ( x, y, z ), 设平面的法向量 A1 DB    n DA1  x  z 0     ,  n DB  x  y 0 �z   x 即� �y   x 取得 x 1, y  1, z  1   n (1,  1,  1), uuur 又 BC  (1,0,0)  平面与平面的距离为 A1 DB D1CB uuur r BC � n 3 . r  3 n 课堂小结 1. 点到直线的距离 2 2 2 PQ  AP  AQ  a  (a u ) 2 2. 点到平面的距离 PQ  AP  n n  AP n n