第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 龙海市港尾中学 正余弦函数的图象 教学目标 01 掌握五点作图法画正余弦函数图象（重点） 02 能用五点作图法做出简单的正弦曲线和余弦曲线（重点） 03 理解正弦曲线和余弦曲线之间的联系（难点） 正余弦函数的图象 学科素养 数学抽象 逻辑推 理 了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法 .; 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系； 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析 掌握 " 五点法 " 画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法 01 知 识 回 顾 Retrospective Knowledge 诱导公式 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 02 知 识 精 讲 Exquisite Knowledge 正余弦函数的图象 前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢 ? 类 比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函 数性质的一些结论． 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置 ，这一现象可以用公式 sin(x±2π)= sin x ， cos(x±2π)= cos x 来表示．这说明，自变量每增加 ( 减少 )2π ，正弦函数值、余弦函数值将 重复出现 . 利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质 的研究过程． 下面先研究函数 y=sin x,x∈R 的图象，从画函数 y=sin x,x∈[0,2π] 的图象开 始. 正余弦函数的图象 在 [0,2π] 上取一个值 x0 ，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 sinx0 ，并画出点 T(x0 ， sinx0) ？ B y 1 T( x0,sin x0 ) x0 y0 A M -1  2 x0  3 2 2 x 正余弦函数的图象 π π0 ，π 若把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份，使 x 的值分别为 6 ， ， ， 3 2 … ， 2π ，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分，再按 上述画点 T(x0 ，  sinx0) 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图   象上的点．        π 3           正余弦函数的图象 利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来， 就可以得到比较精确的函数 y=sin x ， x∈[0,2π] 的图像． 正余弦函数的图象 根据函数 y ＝ sin x, x∈[0,2π] 的图象，你能想象正弦函数 y ＝ sin x ， x∈R 的图象吗？依据是什么？请你画出该函数的图象． 由诱导公式一，可知函数 y ＝ sin x ， x∈[2kπ ， 2(k ＋ 1)π] ， k∈Z 且 k≠0 的图象与 y ＝ sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象形状完全一致．因此将函 数 y ＝ sin x ， x∈[0,2π] 的图象不断向左、向右平移 ( 每次移动 2π 个单位 长度 ) ，就可以得到正弦函数 y ＝ sin x ， x∈R 的图象． 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． y 1 -4 -3 -2 - o -1  2 3 4 5 6 x 正余弦函数的图象 在确定正弦函数的图象形状时，应该抓住哪些关键点？ 在函数 y ＝ sinx ， [0 ， 2π] 的图象上，以下五个点： π3π (0，，，，，，，，，， 0) ( 1) (π0) (  1) (2π0) 2 2 在确定图象形状时起关键作用． 因此，在精确度要求不高时，通常描出这五个点，按照正弦函 数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称 之为“五点法”． 正余弦函数的图象 ☞ 五个关键 点:   (  ,1), 2 图像的最高 点 与 x 轴的交点 (0, 0), ( , 0), (2 , 0) ( 3 , 1). 2 图像的最低 点                 正余弦函数的图象 由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对有密切关联的函数 ．下面我们利用这种关系，借助正弦函数图象画出余弦函数的图象． 你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换 ，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．所以我们可以通过对 正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象． 正余弦函数的图象 x 对于函数 y cos ，由诱导公式 π cos x ，得到： sin( x  ) 2 π y cos x sin( x  )，x  R 2 π ，x  R 而函数 y sin( x  )的图像可以通过正弦函数 2 y sin x，x  R 的图像向左平移 π个单位长度得到． 2 所以，将正弦函数的图像向左平移 π个单位长度，就得到余弦函数的图 像，如图． 2 正余弦函数的图象 π 正弦函数 y sin x， 的图像向左平移 个单位，就得到 xR 2 π 函数 y sin( x  )，即 ( 红色 y的图象 cos x， x  R) ． ，x  R 2 y 1  92  72  5 2  3 2  2 o  2 3 2 2 3 4 x -1 余弦函数 y cos x的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形 ，x  R 状“波浪起伏”的连续光滑曲线． 正余弦函数的图象 类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何做出余弦函数的简图？余弦函 数在区间 [ － π ， π] 上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下 表，然后作出 y ＝ cos x ， x∈[ － π ， π] 的简图． x cos x 正余弦函数的图象 x    2 cos x 1 0 0 π 2  1 0 1 y 1  -  2 o  2 -1  x 正余弦函数的图象 【例 1 】先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象 变换得到下列函数的图象： 1 ） y ＝ 1 ＋ sin x ， x∈ ［ 0 ， 2π ］； （ 2 ） y ＝－ cos x ， x∈ ［ 0 ， 2π ］ 【解析】（ 1 ）按五个关键点列表： x 0 π 2 sin x 0 1 0 －1 0 1 ＋ sin x 1 2 1 0 1 π 3π 2 2π 正余弦函数的图象 【解析】如图，描点并将它们用光滑的曲线连接起来． y o y ＝ 1 ＋ sin x ， x∈ ［ 0 ， 2π ］  2  3 2 2 x y=sinx ， x[0, 2] 将函数 y ＝ sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象向上平移一个单位长度 ，可得 y ＝ 1 ＋ sin x ， x∈[0 ， 2π] 的图象；