专题 35：圆锥曲线的弦长问题 1．已知椭圆 E: x2 y 2 6  2  1( a  b  0) 2 的离心率为 3 ，且过点 ( 3,1) . a b （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过椭圆 E 右焦点的直线 l1、l2 相互垂直，且分别交椭圆 E 于 A、 B 和 C、D 四点，求 AB  CD 的最小值. x2 y 2  2．已知椭圆 a 2 4 ＝1 上一点到椭圆两焦点的距离之和为 4 2 ． （1）求 a 的值及椭圆的离心率； （2）顺次连结椭圆的顶点得到菱形 A1B1A2B2，求该菱形的内切 圆方程； （3）直线 l 与（2）中的圆相切并交椭圆于 A，B 两点，求 | AB | 的取值范围． 2 P x ,y 3．如图，点  0 0  在抛物线 C : y  x 外，过点 P 作抛物线 C 的两 切线，设两切点分别为 A  x1 , x1  、 B  x2 , x2  ，记线段 AB 的中点为 2 M ． 2 （1）证明：线段 PM 的中点 N 在抛物线 C 上； AB （2）设点 P 为圆 D : x   y  2   1 上的点，当 PM 取最大值时，求 2 2 点 P 的纵坐标． 4．如图所示，已知点 F1 、 F2 是椭圆 圆 C2 : C1 : x2  y2  1 的两个焦点，椭 2 x2  y2   经过点 F1 、 F2 ，点 P 是椭圆 C2 上异于 F1 、 F2 的任 2 意一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆 C1 的交点分别是 A 、 B 和 C 、 D .设 AB 、 CD 的斜率分别为 k1 、 k2 . k2 为定值； （1）求证： k1 � （2）求 AB � CD 5．已知椭圆 l C: 的最大值.   x2 y 2 1  1 a  3 2 的离心率为 a 3 2 ，过点  0,1 的直线 C A B 与 有两个不同的交点 ， ，线段 AB O D 的中点为 ， 为坐标原 点，直线 l 与直线 OD 分别交直线 x  4 于点 M ， N . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求线段 MN 6．已知椭圆 C: 的最小值.   x2 y 2  1 a  3 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，点 a2 3 P 为椭圆 C 上异于 A1 ， A2 的一点，且直线 PA1 ， PA2 的斜率之积为  3 4. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M ， N 两点（ M ， N 与 A1 不 重合）， l 不与 x 轴垂直，若 k A1M  k A1N  k MN ，求 MN . x2 y 2  1 7．已知抛物线 C： y  2 px( p  0) 的焦点 F 与椭圆 4 3 的右焦 2 点重合，点 M 是抛物线 C 的准线上任意一点，直线 MA ， MB 分别 与抛物线 C 相切于点 A ， B . （1）求抛物线 C 的标准方程； k2 为定值； （2）设直线 MA ， MB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，证明： k1 � （3）求 AB 的最小值. x2 y 2  1 8．设椭圆 E： a 2 b 2 （a，b>0）过 M（2， 2 ） ，N( 6 ，1) 两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆 E 的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭 uuu r uuu r OA  OB 圆 E 恒有两个交点 A，B，且 ？若存在，写出该圆的方程， 并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由. x2 y2 C:   1(a  b  0) 9．已知 F1 (1, 0) ， F2 (1,0) 椭圆 a 2 b2 的左、右焦点， 点 P 是 C 的上顶点，且直线 PF2 的斜率为  3 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F2 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ．若 l1 与 C 交于 A，B 两 点， l2 与 C 交于 D，E 两点，求 |AB |  | DE | 的最大值． x2 y 2   1 a  b  0 10．已知椭圆 E ： a 2 b 2  四个顶点中的三个是边长为 2 3 的等边三角形的顶点. （1）求椭圆 E 的方程： 2b 2 x y  （2）设直线 y  kx  m 与圆 O ： 3 相切且交椭圆 E 于两点 2 2 M ， N ，求线段 MN 的最大值. 11．已知椭圆 C: x2 y2  1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过点 F2 的 6 5 直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点. 20 3 （1）若 VF1 AB 的面积为 11 ，求直线 l 的方程； （2）若 uuuu r uuuu r BF2  2 F2 A 12．已知椭圆 C1 : ，求 AB . x2 y 2   1(a  b  0) 的一焦点 F 与抛物线 a 2 b2 2 C2 : y  4 x 的焦点重合，且离心率为 2 ． 2 （1）求椭圆 C1 的标准方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C2 交于 A、B 两点，与椭圆 C1 交 | CD | 于 C、D 两点，求 | AB | 的最大值． 参考答案 x2 y2  1 1．（1） 6 2 ；（2） 2 6 . x2 y 2  1 【分析】（1）设椭圆的标准方程为 a 2 b 2 ，将点 c 6  由a 3 当直线 l1 的斜率不存在时，求出 为 0 时，直线 l1 的方程可设为 AB AB  CD ， CD ，可得 ； ；当直线 l1 的斜率存在且不 x  my  2  m �0  ，可得直线 l2 的方程为 8 6  m 2  1 2 3m 4  10m2  3 ，令 m2  1  t ，构造函数 g  t   即可求解. x2 y2  1 【解析】 （1）由题意可设椭圆的标准方程为 a 2 b 2 由 AB  CD 1 y2 m ，分别将直线与椭圆联立，利用弦长公式求出 AB ， CD ， 可得 AB  CD  e  3,1 代入方程， ，结合 a 2  b 2  c 2 即可求解. （2）当直线 l1 的斜率为 0 时，分别求出 x  6 3 c 6  ，即 a 3 2 2 2 再由 a  b  c t2 3t 2  4t  4 可得 a = 将点  3b ①  3,1 3 1  1 代入椭圆方程，可得 a 2 b 2 ② 由①②可解得 a  6, b  2 x2 y 2  1 故椭圆的方程为 6 2 （2）由（2）知，椭圆右焦点为  2, 0  ， A x , y , B x , y ,C x , y , D x , y 设  1 1  2 2   3 3  4 4  2 6 当直线 l1 的斜率为 0 时， AB  2a  2 6 ，直线 l2 : x  2 ，可得 CD  3 2 6 8 6 所以 AB  CD  2 6  3  3 8 6 当直线 l1 的斜率不存在时，直线 l2 的斜率为 0, AB  CD  3 当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时，直线 l1 的方程可设为 则直线 l2 的方程为 x 1 y2 m �x 2 y 2 1 �   �6 2 �x  my  2 整理得  m 2  3 y 2  4my  2  0 �   16m 2  8  m 2  3  0 恒成立， x  my  2  m �0  ， 4m � y1  y2   2 � � m 3 则� �y y   2 1 2 m2  3 � 2 2 而 AB  1  m y1  y2  1  m  y1  y2   4 y1 y2 2  1 m 2 2 2 �4m � � 2 � 2 6  m  1 �2 � 4 � 2 � m2  3 �m  3 � �m  3 � 2 � �1� � 2 6�  � 1� � 2 � m � � 2 6  m  1 � CD   2 联立直线 与椭圆方程可得 3m 2  1 �1�   3 � � l2 � m� 2 �m 2  1 m2  1 � 8 6  m  1 AB  CD  2 6 � 2  2 � 4 2 则 �m  3 3m  1 � 3m  10 m  3 2 2 令 m 1  t 令 g t  t2 1   2 3t  4t  4  4  4  3 t2 t 2 1 �2 �  1� 4 � 3, 4 当 t � 1, � 时，  � �t � 则 g  t  1 2 �2 �  �  1� 4 �t � 1 1� � �� , � 4 3� � � 8 6� AB  CD � 2 6, �， � 所以 3 � � � 2 �2 �  �  1 � 4 �t �  t  1 � 8 6� AB  CD � 2 6, � � 综上， 3 �， � 2  当 m  1 时， AB  CD 的最小值为 2 6 . 【点评】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，解题的关 键是利用弦长公式以及韦达定理得出 AB  CD  8 6  m 2  1 2 3m 4  10m2  3 ，考查 了数学运算以及分类讨论的思想. 2 8 4 6 2 2 2．（1） a  2 2 ， e  2 ；（2） x  y  3 ；（3） [ 3 , 2 3] ． 【分析】（1）由焦距写出 a 的值，结合椭圆方程求 c，应用离心率 公式直接求离心率即可. 2 2 （2）由题设知菱形的棱长为 a  b ，应用等面积法即可求内切圆 的半径，进而写出内切圆方程； （3）讨论直线斜率不存在、为 0、不为 0 三种情况，分别求 | AB | 的 范围，取并. 【解析】（1）∵椭圆上的点到椭圆两焦点的距离之和为 4 2 ， ∴ 2a  4 2