江苏省徐州市 2020~2021 学年高一下学期期末考试 数学试题 2021．06 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分． 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知 i 为虚数单位，则 A． 4 5  i 3 3 1  2i ＝ 2i 5 B． i 3 C．i D．﹣i uuur uuur 2．在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，则向量 AB 在向量 AC 上的投影向量为 uuur A． AC uuur C． CA uuur B． AB uuur D． CB 3．从一批羽毛球中任取 1 个羽毛球，如果其质量小于 4.8g 的概率是 0.3，其质量不小于 4.85g 的概率是 0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是 A．0.62 B．0.68 C．0.7 D．0.38 4．近日，2021 中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在 100 个地级及以上候选城 市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的 满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意度越高． 现随机抽取 20 位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的 80 百分位数是 3 3 4 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 10 10 A．7.7 B．8 C．8.5 D．9 5．在△ABC 中，AC＝1，AB＝ 7 ，BC＝3，则△ABC 的面积为 A． 3 3 8 B． 3 3 4 C． 3 3 2 D． 3 3 6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为 2 2 ，则该几何体的体积为 A． 4 2 3 7．已知 cos(  B． 2 2 3 C． 2 3 D．  7 2 ) ，则 sin2θ＝ 4 10 1  3 A．  24 25 B．  12 25 C． 12 25 D． 24 25 8．在三棱锥 A—BCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，BD⊥CD，且 AB＝BD＝DA＝3，CD＝ 3 ，则三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 A． 15  4 B． 15 3 C．  2 D． 6 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 200 名学生，他们的 身高都处在 A，B，C，D，E 五个层 次内，根据抽样结果得到统计图表， 则样本中 A．女生人数多于男生人数 B．D 层次男生人数多于女生人数 C．B 层次男生人数为 24 人 D．A 层次人数最少 r r r r r r 10．设向量 a ， b 满足 a  b  1 ，且 b  3a  13 ，则 r r A． a ⊥ b r r B． a  b  1 r r C． a  b  3 r r D． a 与 b 的夹角为 60° 11．已知复数 z 满足(3＋4i)z＝ 3  4i （其中 i 为虚数单位），则 A．z 的虚部为  4 i 5 B．复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限 z 1 C． z � D．当  �[0，2  )时， 5 z  cos   i sin  的最大值为 6 12．在棱长为 1 的正方体 ABCD–A1B1C1D1，中，E，F 分别为 BC，CC1 的中点，则 A．DD1⊥AF B．直线 AF 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为 C．平面 AEF 截该正方体所得的截面面积为 2 9 8 1 3 D．点 C 到平面 AEF 的距离为 1 3 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．某工厂有 A，B，C 三个车间，A 车间有 1000 人，B 车间有 400 人．若用分层抽样的方 法得到一个样本容量为 44 的样本，其中 B 车间 8 人，则样本中 C 车间的人数为 ． 1 1 1 14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 2 ， 3 ， 4 ，则三 人都成功破译的概率是 ；密码被两人成功破译的概率为 ．（本题第一空 2 分， 第二空 3 分） 15．如图，等边三角形 SAB 为该圆锥的轴截面，点 C 为母线 SB 的中点，D 为 则异面直线 SA 与 CD 所成角为 � AB 的中点， ． 16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222 年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再 加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由 3 uuur 个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 AD ＝  uuur uuur uuur uuu r AB   AC ，若 AD  4AF ，则    的值为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） r r r 已知 a ， b 为平面向量，且 a ＝(﹣2，1)． r r r r （1）若 a ∥ b ，且 b  2 5 ，求向量 b 的坐标； r r r r r （2）若 b ＝(3，2)，且 k a  b 与 a  2b 垂直，求实数 k 的值． 3 18．（本小题满分 12 分） 1  3 5    2 ． 已知 tan   ， cos   且0   ， 3 2 2 5 （1）求 tan 2 的值； （2）求    的值． 19．（本小题满分 12 分） 如图①，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 AB，BC，BB1 的中点． （1）求证：平面 EFG⊥平面 BB1D1D； （2）将该正方体截去八个与四面体 B—EFG 相同的四面体得到一个多面体(如图②)， 4 若该多面体的体积是 160 ，求该正方体的棱长． 3 20．（本小题满分 12 分） 2021 年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语 三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自 己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分 100 分，原始分计入总分，在 思想政治､地理､化学､生物学 4 门科目中自选 2 门参加考试(4 选 2)，每科满分 100 分，进行 等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面 是 100 名 学 生 的 思 想 政 治 ､ 地 理 ､ 化 学 ､ 生 物 学 四 科 成 绩 总 分 ， 以 组 距 40 分 成 8 组 ： [80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)， [360，400]，画出频率分布直方图如图所示． （1）求 a 的值； （2）试估计这 100 名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数； （3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在 [240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取 6 名学生，再从这 6 名学生中随 机抽取 2 名学生进行问卷调查，求抽取的这 2 名学生来自不同组的概率． 5 21．（本小题满分 12 分） ① 3asinC  ccosA ； ② 2asinB  ( 6  2)bsin BC A  6 2 2cos 2 (  )  1  2 ；③ 2 8 4 ． 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题． 在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 A； （2）已知 a 3 ，求 b2  c2 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 6 ． 22．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥PD，PA＝PD，M，N 分别为 棱 AB，PD 的中点，二面角 P—AD—B 的大小为 60°，AB＝3，BC＝4． （1）求证：直线 MN∥平面 PBC； （2）求二面角 A—PB—C 的余弦值． 江苏省徐州市 2020~2021 学年高一下学期期末考试 数学试题 2021．06 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分． 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1  2i 1．已知 i 为虚数单位，则 2  i ＝ 4 5  i A． 3 3 5 i B． 3 C．i D．﹣i 【答案】C 1  2i (1  2i)(2  i)  i (2  i)(2  i) 【解析】 2  i ． 7 2．在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，则向量 uuur uuur uuur AC CA AB A． B． C． uuur AB uuur AC 在向量 uuur CB D． 上的投影向量为 【答案】A 【解析】根据投影向量的概念，易判断 A 选项正确． 3．从一批羽毛球中任取 1 个羽毛球，如果其质量小于 4.8g 的概率是 0.3，其质量不小于 4.85g 的概率是 0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是 A．0.62 B．0.68 C．0.7 D．0.38 【答案】D 【解析】根据互斥事件概率计算公式，可知所求概率＝1﹣0.3﹣0.32＝0.38，选 D． 4．近日，2021 中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在 100 个地级及以上候选城 市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的 满意程度的指标，常用区