专题 14 立体几何的翻折问题 1．（2021·江苏苏州大学附中高三模拟）如图 1，在矩形 VADE 沿 DE （1）求证： 向上翻折，进而得到多面体 DE  A1C A1  BCDE ABCD 中，已知 （如图 2）. ； （2）在翻折过程中，求二面角 A1  DC  B 的最大值. 【解析】（1）如图 1，连接 AC 交 DE 于 F. 因为 AB  2 2 ，且 E 为 AB 的中点， AE  2 ， AE BC 在矩形 ABCD 中，因为 AD  2, AD  AB  2 ， 所以 V EAD ∽ VCBA ，所以 �ADE  �BAC ， 所以 �AFD  �BAC  �AED  �ADE  90�， 所以 �AFE  180� (�AED  �CAB )  90�，即 DE  AC . 由题意可知 A1FC DE  A1F , DE  FC , A1F I FC  F , A1F , CF � 平面 ， AB  2 2, BC  2 ，E 为 AB 的中点.将 所以 DE  平面 因为 A1FC A1C � A1FC DE  A1C . 平面 ，所以 （2）如图 2，过 因为 DE  平面 又因为 因为 所以 A1 A1 H  FC ，垂足为 H，过 H 作 HG  DC A1H  FC , FC I DE  F , DE , FC � A1H  BCDE BCDE . 平面 ，所以 平面 HG  CD, A1 H I HG  H , A1H , HG � A1 HG A1 HG CD  . 平面 ，所以 平面 A1G � A1 HG CD  A1G . 平面 ，所以 �A1GH 在矩形 是二面角 ABCD AF  A1  CD  B 的平面角. �A1FC   ,  �(0,  ) 中，由 AB  2 2, AD  2 . ，E 为 AB 的中点， 2 3 4 3 , FC  3 3 . 在直角三角形 A1 FH 中， A1 H  2 3 2 3 HC  FC  FH  (2  cos  ) sin  ，所以 ， 3 3 HG CH 因为 HG  DC ，所以 HG //AD ，所以 AD  CA ， 2 所以 HG  3 (2  cos  ) . AH 3 sin  tan �A1GH  1  A HG 在直角三角形 1 中， HG 2  cos  . 设 ，垂足为 G，连接 A1FC A1FC , A1H � A1 H  DE . 平面 ，所以 在翻折过程中，设 得 作 A1 H  CD CD � BCDE . 平面 ，所以 又因为 因为 . y 3 sin  ,  �(0,  ) ，所以 3 sin   y cos   2 y . 2  cos  所以 3  y sin(   )  2 y ，即 2 sin(   )  2y 3  y2 �1 . A1G .  解得 0  y �1 ，当   时，等号成立，故 0  tan A1GH �1 ， 3 �� �A1GH �� 0, � 0  У A1GH � 2 �，所以 因为  4，  所以二面角 A  DC  B 的最大值为 . 1 4 2．（2021·浙江台州·高三期末）在矩形 � ABCD 中， AB  4, AD  2. 点 E, F 分别在 � �平面 BCFE . 将四边形 AEFD 翻折至四边形 A EFD ，点 A� / / 平面 A BE ； （1）求证： CD� � （2） A� , B, C , D� 四点是否共面？给出结论，并给予证明；  BC  E 的平面角为  ，求 tan 的最大值. （3）在翻折的过程中，设二面角 A� F / / A� E ， D� F �平面 A� EB ， A�� E 平面 A� EB ， 【解析】（1）证明：因为 D� F / / 平面 A� EB ， 所以 D� EB ， EB �平面 A� EB . 因为 FC / / EB ， FC �平面 A� EB ， 所以 FC / / 平面 A� F  F ，所以平面 D� FC / / 平面 A� EB ， 又因为 FC �D� FC ，所以 CD�/ / 平面 A� �面 D� EB ； 因为 CD� （2） A� , B , C , D� 四点不共面. , D� , B, C 四点共面，则 A�� D� �BC  Q . D / / BC 或 A� 证明：假设 A� AB, CD 上，且 AE  2, CF  1 .沿 EF D / / BC ，又因为 A�� D �平面 BCFE ， BC �平面 BCFE ， 若 A�� D / / 平面 BCFE ， A�� D �平面 A�� D FE ,平面 BCFE �平面 A�� D FE  EF , 所以 A�� D / / EF (与已知矛盾，舍去) 所以 A�� D� �BC  Q ，所以 Q �平面 A�EFD�， Q �平面 BCFE 若 A� 根据基本事实 3，所以 所以 A�� D , BC , EF 综上所述， Q �EF 交于一点(与已知矛盾，舍去)； A� , B, C , D� 四点不共面. M  AO 于 M ，作 MN  BC 于 N ， （3）解：如图，在面 AC 内作 AO  EF 于点 O ，作 A� M  平面 BCFE 由题意可得点 M 为点 A�在平面 BCFE 的射影，所以 A� M M ， M  BC ，又因为 MN  BC , MN �A� 所以 A� 所以 BC  平面 A�MN ，所以 BC  A� N ， NM 为二面角 A�  BC  E 的平面角  ， 所以 �A� 因为 设 AO  EF , A� O  EF �A� OM   ,  � 0,   ，所以 �A� OM 为二面角 A�  EF  B 的平面角， 当 4 12  AO  , ON  5 ， 5 2 时，点 O 与点 M 重合，由  可得 tan  5 3 ， 4 4 4 �� AO  A� M sin , OM  cos  ��0, � 5 ，所以 5 5 � 2 �时，因为 所以 所以 AM  4 �4 � 2 12 8 4 4 MN  4  �  cos � �   cos  cos ，故 5 5 5 �5 � 5 5 5 tan  A� M 5sin  MN 3  2cos 4 4 � � A� M sin , OM   cos  �� ,  � 5 5 �2 �时， 同理当 所以 所以 设 由 AM  4 �4 � 2 12 8 4 4 MN  4  �  cos � �   cos .  cos ，故 5 5 5 �5 � 5 5 5 tan  A� M 5sin  MN 3  2cos ， 3y 5sin sin       4 y2  5 ， 3  2cos ，所以 5sin  2 ycos  3 y. 所以 y 3y 4 y2  5 当 cos  �1 解得 1�y�1 ，所以 tan 的最大值为 1. 2 时取到. 3 所以 tan 的最大值为1. 3．（2021·南昌市八一中学高三月考）如图，四边形 CD  2 ，将 VBAC 沿 AC 翻折至 △ PAC ，使得 PD  2 . ABCD 中，满足 AB //CD ， �ABC  90� AB  1 BC  3 ， ， ， （Ⅰ）求证：平面 PAC  平面 ACD ； （Ⅱ）求直线 CD 与平面 PAD 所成角的正弦值. 【解析】（Ⅰ）过 B 作 BO  AC ，垂足为 O ，连 PO ， DO ，则 PO  AC ， 作 DE  AC ，垂足为 E ，则 DE  3 ， OE  13 1 DO  2 2， 2 2 2 所以 PO  DO  PD ，即 PO  OD 又 AC �DO  O ，所以 PO  平面 ACD ， 又 PO �平面 PAC ， 所以平面 PAC  平面 ACD ； （Ⅱ）以 O 为坐标原点， OC ， BO 所在的直线为 x ， y 轴建立空间直角坐标系 � � �1 � �3 � �1 � P �0,0, 3 � A  , 0, 0 C , 0, 0 D , 3, 0 �， � �， � �， � 则 �2 ， 2 � � � � �2 � �2 � � uuu r �1 3� uuur AP  � �2 , 0, 2 � � AD  1, 3, 0 ， � �   �uuuv v 1 3 n  a c0 �AP � 2 2 � 设平面 的法向量为 r ，则 �uuuv v n  a  3b  0 n  (a, b, c) �AD � PAD 取法向量 r n  uuur  ， CD   1, 3, 1, 1 3, 0  设直线 CD 与平面 PAD 所成角为  ， uuur r 15 sin   cos  CD, n   则 5 . 4．（2021·山师大附中高三模拟）在直角 VABC 中，直角边 AC  2 ， A  60�， M 为 AB 的中点，将 VAMC 沿着 MC NQ 折起，使 A1M  MB ，（ A1 为 A 翻折后所在的点），设线段 ． （1）求证： （2）求直线 A1B  MB 平面 与平面 MNQ A1MC ； 所成角的正弦值． BC ， A1 B 的中点分别为 Q ， N ，连接 MQ ， MN ， 【解析】（1）证明：因为 所以 又 VA1MB BC  2 3 A1M  MB 为等腰直角三角形， ， A1C  2 ，且满足 ， CM  MB  MA1  2 A1