6.2 排列与组合-2021-2022 学年高二数学人教 A 版 （2019）选择性必修三同步课时作业 1.甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求甲不能站排头，乙不能站排尾，满足这种要求 的排法有( ) A.15 种 B.14 种 C.13 种 D.12 种 2.现有 3 名男医生 3 名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组三人，女医生不能全在同 一组，则不同的派遣方法有( ) A.9 B.18 C.36 D.54 3.十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小 木棍.下图是利用算筹表示数字 1～9 的一种方法.例如：3 可表示为“≡”，26 可表示为“=⊥”， 现用 6 根算筹表示不含 0 的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被 3 整 除的概率为( ) A. 1 4 B. 1 6 C. 5 12 D. 7 24 4.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训， 每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 5.某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有_______个( ) A. A 226104 4 B. A 226 A10   2 1 4 C. C26 10   1 D. C26 2 4 A10 6.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同 类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 B．120 C．144 D．168 7.在 1，2，3，4，5，6，7 中任取 6 个不同的数作为一个 3 行 2 列矩阵的元素，要求矩阵的 第 2 行的两个数字之和等于 5，而矩阵的第 1 行和第 3 行的两个数字之和都不等于 5，则可 组成不同矩阵的个数为（ A.204 ） B.260 C.384 D.480 8.2022 年北京冬季奥运会组委会招聘了 5 名志愿者,分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自 由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作 .若每个人只能担任其中一项工作,且志 愿者甲不能在越野滑雪项目,则不同的派遣方法种数共有( A.120 B.96 C.48 ) D.24 9.6 名大学生响应国家号召，到西部边远地区 A，B，C 三个学校支教，每个学校 2 人，根 据学校需要及所学的专业，甲不能到 A 学校，乙、丙所学专业相同，不能安排到同一学校， 则不同的安排方案有( ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 10.某校为了落实教育部提出的第三十七个教师节“赓续百年初心，担当育人使命”的主题， 开展了文娱汇演活动.校文娱组委会要在原定排好的 8 个节目中增加 2 个节目，若保持原来 的 8 个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( ) A.45 B.90 C.180 D.270 11.4 名护士和 2 名医生站成一排，2 名医生不能相邻，则不同的排法种数为___________. 12.关于 x，， y z 的方程 x y z 7 （其中 x，， y z �N  ）的解共有_____组． 13.某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数为 _____ ____. 14.男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男､女队长各 1 名.现选派 5 人外出参加比赛，在下 列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员 3 名，女运动员 2 名； （2）队长中至少有 1 人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员. 答案以及解析 1.答案：B 解析：根据题意，甲不能站排头，乙不能站排尾排法，可分 2 种情况讨论： ① 甲在末尾，剩下三人全排列即可，此时有 ② 甲不在末尾，先排甲，有 故有 A21 �A21 �A22  8 A21 A33  6 种方法，再排乙有 种排法； A21 种方法，剩下的两人有 A22 种排法， 种排法，则有 6+8=14 种不同的排法. 故选 B. 2.答案：B 解析：设两个山区为 A，B，由题意得两个组每组三人， 1 2 2 1  A，B 两个山区各派遣 3 名医生，则共有 C3 C3  C3 C3  3 �3  3 �3  18 种不同的派遣方法. 3.答案：A 解析：用 6 根算筹组成满足题意的三位数有 123，127，163，167 这四种情况的全排列， A 33 1  其中 123 的排列能被 3 整除，所以概率为 4A33 4 ，故选 A. 4.答案：C 解析：本题考查排列与组合问题.根据题目条件知花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项 目中有 1 个项目分配 2 名志愿者，先分组再排列，可知不同的分配方案共有 C52 � A 44  240 （种）. 5.答案：D 解析：某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同   1 的牌照号码共有 C26 2 4 A10 个，选 D. 6.答案：B 解 析 ： 分 两 类 ， 一 类 是 歌 舞 类 用 两 个 隔 开 共 第二类是歌舞类用三个隔开共 所以 A33  C21 A22 A22  N  A33  2 A33   A33  C21 A22 A22   120 A33  2, A33  种 ， 种， 种.选 B. 7.答案：C 解析：两个数字之和等于 5 的情形只有两种： 2  3  1  4  5 ． 下面先考虑第二行选取 1，4 作为元素，有 2，3 中的一个有 C21 � C41 � A33 由乘法原理可得： C21 种方法；再安排第一行、第三行，若只选取 种方法，若 2，3 都选取，则有 C21 (C21 � C41 � A33  C41C21 A32 ) C41C21 A32 种方法． 方法． 同理可得：第二行选取 2，3 作为元素，也有 C21 (C21 � C41 � A33  C41 C21 A32 ) 利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为 方法． 2 �C21 (C21 � C41 � A33  C41C21 A32 )  384 种方法 8.答案：B 解析：因为 5 个人，5 种项目，而甲不能在越野滑雪项目，所以甲从剩下的四个里面选一 个 C41 ，则甲选完后的四个项目由剩下四个人担任，全排列即可 A44  4 �3 �2 �1  24 ，所以 共有 4 �24 种选择， 4 �24  96 .故选 B. 9.答案：C 解析：按甲到 B，C 学校分类，甲到 B 学校：① B 学校从乙、丙中选 1 人有 下 4 人到 A，C 两个学校，有 C24 种方案，共有 ②B 学校从除乙、丙之外的 3 人中选 1 人，有 余下 2 人 A，C 学校也有 A 22 种方案，共有 C12 C24 C22  12 C13 C12 种方法，剩 种方案； 种方案，乙、丙到 A，C 学校有 A 22 种方案， C13 A22 A22  12 种方案. 所以甲到 B 学校有 12  12  24 种方案. 同理甲到 C 学校也有 24 种方案.共有 48 种方案.故选：C. 10.答案：B 解析：可分成两步：第一步，在 8 个原定节目所产生的 9 个空隙中插入一个节目，有 A19 种 不同的排法； 第二步，在已排好的 9 个节目所产生的 10 个空隙中插入另一个节目，有 根据分步乘法计数原理知，共有 1 A19 A10  90 A110 种不同的排法. 种不同的排法，故选 B. 11.答案：480 解析：根据题意，将 4 名先排列，则一共有 4 �3 �2  24 种安排方法， 因为 2 名医生不能相邻，所以 4 名护士排好后，有 5 个空位，在其中任选 2 个，则一共有 A52  20 种安排方法，所以一共有 24 �20  480 种不同的排法. 12.答案：15 解析：将 7 分解成为 7 个 1，现在将 7 个 1 分为三组，每一组都有 1，则分组方式为 C62  15 ，即关于 x，y，z 的方程 13.答案：10 x yz 7 (其中 x，y， z �N  )的解共有 15 组. 解析：由题意可知，7 天中的 4 天可产生 5 个空，排 3 天即为 14.答案：(1) (2) (3) C35  10 . C36 � C42  120 2C84  C83  196 C94  C84  C54  191 解析：(1)分两步完成： 第一步，选 3 名男运动员，有 C36 第二步，选 2 名女运动员，有 种选法； C24 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有 C36 � C42  120 (种) 选法. (2)方法一(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为 “只有女队长”的选法种数为 C84 C84 ； ； “男､女队长都入选”的选法种数为 所以共有 2C84  C83  196 C83 ， (种)选法. 5 C10 方法二(间接法)从 10 人中任选 5 人有 其中不选队长的方法有 C85 种.所以“至少有 1 名队长”的选法有 (3)当有女队长时，其他人任意选，共有 当不选女队长时，必选男队长，共有 不选女队长时的选法共有 种选法， C 4 8  C54  C84 C94 5 C10  C85  196 (种). 种选法； 种选法，其中不含女运动员的选法有 种. 所以既要有队长又要有女运动员的选法共有 C94  C84  C54  191 (种). C54 种，所以