2021-2022 学年佛山市超盈实验中学高二上学期第二次大测数学试卷 2021.12.10 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） x y  1 1．直线 4 2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B ，以线 AB 为直径的圆的方程为（ A． x 2  y2  4x  2 y  0 C． x 2  y2  4x  2 y  1  0 B． x 2 ）  y 2  4x  2 y  1  0 D． x 2  y2  2x  4 y  0 x2 y2  1 2．已知方程 2 m  n 3m 2  n 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ ） B． ( 1, A． ( 1, 3) 3) C． (0, 3) D． (0, 3) 3．袋子里有 4 个大小、质地完全相同的球，其中有 2 个红球、2 个白球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球， 事件 A “两个球颜色相同”，事件 是红球”下列说法错误的是（ A． P( A U B)  1 B “两个球颜色不同”，事件 C “第二次摸到红球”，事件 D “两个球都 ） B．C 与 D 互斥 C． D �C D． P( B)  P (C )  P( D) 4．设直线 l1 : x  3 y  7  0 与直线 l2 : x  y  1  0 的交点为 P，则 P 到直线 l : x  ay  2  a  0 的距离最大 值为（ A． ） 10 5．圆 x A． x  2 B．4 C． 3 2 D． 11  y 2  4 x  0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为（ 3y  2  0 B． x  6 ． 如 图 ， 在 长 方 体 3y  4  0 C． x  ABCD  A1B1C1D1 中 uuur uuur uuur uuur DP  x AB  y AD  z AA1 ，则 x  y  z  （ ） ） 3y  4  0 D． x  ， P 是 线 段 D1 B 上 3y  2  0 一 点 ， 且 BP  2D1P ， 若 4 A． 3 2 B． 3 1 C． 3 D．1 y 2 x2 7．已知椭圆 2  2  1( a  b  0) ，斜率为 2 的直线与椭圆相交于两点 M , N , MN 的中点坐标为 (1, 1) ， a b 则椭圆 C 的离心率是（ A． 1 2 2 2 B． 8．在正方体 ） C． 3 2 D． 2 ABCD  A1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，P 是底面 ABCD 内（包括边界）的一个动点，若 1 1 所成角的取值范围是（ MP / / 平面 A1BC1 ，则异面直线 MP 与 AC ）  �  �  � �� � � � 0, � B． � , � C． � , � D． � ,  � � 3� �6 3 � �3 2 � �3 � A． � 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9．已知圆 C : x 2  y 2  4 ，直线 l : (3  m) x  4 y  3  3m  0, (m �R) ，则下列四个命题正确的是（ l A．直线 恒过定点 C．圆 C 与曲线： x D．当 m  13 ( 3, 3) 2 B．当 m0 ） l 时，圆 C 上有且仅有三个点到直线 的距离都等于 1  y 2  6 x  8 y  m  0 恰有三条公切线，则 m  16 l 时，直线 上一个动点 P 向圆 C 引两条切线 PA, PB ，其中 A, B 为切点，则直线 AB 经过点 � 16 4 � � ,  � � 9 9� 10．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得 5 分，部分选对 的得 2 分，有选错的得 0 分．”已知某选择题的正确答案是 表述正确的是（ ） CD ．且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列 1 A．甲同学仅随机选一个选项，能得 2 分的概率是 2 1 B．乙同学仅随机选两个选项，能得 5 分的概率是 6 1 C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是 5 1 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 10 x2 y 2 11．已知椭圆 C : 2  2  1(a  b  0) 的左、右焦点为 F , F , O 为坐标原点，直线 y  x  3 过 F 交 C 1 2 2 a b 于 A, B 两点，若 VAF1 B 的周长为 8，则（ A．椭圆焦距为 3 ） x2  y2  1 B．椭圆方程为 4 12．在长方体 ABCD  A1 B1C1D1 中， DD1 A．点 D 到平面 BDC 的距离为 1 1 C．弦长 | AB | 8 5 D． SVOAB   2 DC  2 AD  2 ，则下列结论正确的（ 2 3 B． AB ） 与平面 BDC1 所成角的余弦值等于 1 BDC1 所成角的正弦值为 3 C．平面 ABCD 与平面 4 6 5 D．在棱 5 3 C1 D1 上不存在点 M，使得 AM / / 平面 BDC1 三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13．已知点 A(3, 1), B (5, 2) 14．圆 C1 : x 2 ，点 P 在直线 x y 0 上，若使 PA  PB 取最小值，则点 P 坐标是________．  y 2  9 与圆 C2 : x 2  y 2  x  2 y  4  0 的公共弦长为________． x2 y 2 15．过椭圆 M : 2  2  1( a  b  0) 右焦点的直线 x  y  3  0 与椭圆交于 A, B 两点，P 为 a b AB 的中点， 1 且 OP 的斜率为 2 ，则椭圆 M 的方程为_______． 16．如图，直三棱柱 ABC  A1B1C1 中，侧棱为 2, AC  BC  1, �ACB  90� , D 是 A1 B1 的中点，F 是 BB1 上 的动点， AB1 , DF 交于点 E，要使 AB1  平面 C1DF ，则线段 B1F 的长为______． 四、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，其中 17 题 10 分，18．19．20．21．22 题各 12 分） 17．已知直线 l 经过直线 l1 : 2 x  （1）若 A(5, 0) （2）求点 y  5  0 与 l2 : x  2 y  0 的交点 B， l l 到 的距离为 3，求 的方程； A(5, 0) l 到 的距离的最大值． 18．某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案： 方案一：交纳质保金 300 元，在质保的两年内两条空调共可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 200 元． 方案二：交纳质保金 400 元，在质保的两年内两台空调共可免费维修 3 次，超过 3 次每次收取维修费 200 元． 小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了 100 台这种 空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表： 维修次数 0 1 2 3 空调台数 20 30 30 20 用以上 100 台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率． （1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过 2 次的概率； （2）请问小李选择哪种质保方案更合算． 19．已知直三棱柱 ABC  A1 B1C1 中，侧面 AA1 B1 B 为正方形， AB  BC  2, E , F 分别为 AC 和 CC1 的中点， D 为棱 A1 B1 上的点， BF  A1 B1 ． （1）证明： （2）当 BF  DE ； B1 D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？ x2 y 2 20 ． 设 椭 圆 C : 2  2  1(a  b  0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F , F ， 下 顶 点 为 A ， 椭 圆 C 的 离 心 率 是 1 2 a b 3 ,VAF1F2 的面积是 3． 2 （1）求椭圆 C 的标准方程． l （2）直线 与椭圆 C 交于 B, D 两点（异于 A 点），若直线 AB 与直线 AD l 的斜率之和为 1，证明：直线 恒 过定点，并求出该定点的坐标． 21．（本小题满分 12 分）如图，四梭柱 中点，平面 A1 D1 DA  （1）证明： ABCD  A1B1C1D1 的底面 ABCD 为矩形， AD  2 AB ，M 为 BC ABCD, AA1  A1D 且 A1 A  A1D ． A1 B1  A1 D ． （2）若此四棱柱的体积为 2，求二面角 A  A1 B  M 的大小． 22．（本小题满分 12 分）已知圆 M 经过两点 A(3, （I）求圆 M 的方程； 3), B(2, 2) 且圆心 M 在直线 y  x  2 上． k2 （Ⅱ）设 E , F 是圆 M 上异于原点 O 的两点，直线 OE , OF 的斜率分别为 k1 , k2 ，且 k1 � EF  2 ，求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标． 2021-2022 佛山市超盈实验中学高二上学期第二次大测数学答案 1．【答案】A 解：由直线截距式方程知， A(4, 0), B (0, 2) ，所以 AB 中点坐标为 (2,1) ，且 | AB | 42  22  2 5 ，所以以 AB 为直径的圆的因心为 (2,1) ，半径为 5 ，所以以线段 AB 为直径的 圆的方程为 ( x  2) 2  ( y  1) 2  5 ，化为一般方程为 x 2  y 2  4 x  2 y  0 ．故选 A． 2．【答案】A 解： Q 双曲线两焦点间的距离为 4, c  2 ，当焦点在 x 轴上时，可得 x2 y2  1 ， 解 得 ， 方 程 c 2  4  m 2  n  3m 2  n