解密 06 正、余弦定理及解三角形 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 2021 年全国乙卷 15 2020 课标全国Ⅲ 7 2020 课标全国Ⅱ 17 利用正、余弦定 理解三角形 解三角形问题一直是近几 年高考的重点，主要考查以斜 三角形为背景求三角形的基本 量、面积或判断三角形的形状， 解三角形与平面向量、不等式、 三角函数性质、三角恒等变换 解三角形与其他 交汇命题成为高考的热点． 2019 课标全国Ⅱ 15 2018 课标全国Ⅰ 17 ★★★★★ 2018 课标全国Ⅱ 6 2018 课标全国Ⅲ 9 2021 新高考Ⅰ卷 19 2021 新高考Ⅱ卷 18 2020 课标全国Ⅰ 16 2019 课标全国Ⅰ 17 知识的交汇问题 ★★★ 2019 课标全国Ⅲ 17 考点一 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选 择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化． 若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”； 若想“角”往“边”化，常利用 sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝等． ABC 中，已知 例题 1 1．在 A． 150� sin 2 B  sin 2 C  sin 2 A  3 sin A sin C C．120� B． 30� ，则角 B 的大小为（ D． 60� 1．A 【分析】因为 sin 2 B  sin 2 C  sin 2 A  3 sin A sin C 由正弦定理，可得 又由余弦定理得 b 2  c 2  a 2  3ac cos B  ， ， a 2  c 2  b 2  3ac 3   2ac 2ac 2 ， 因为 B �(0,  ) ，可得 B  150�. 故选：A. 例题 2．在 VABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，其中 a  2 ， sin A sin B  sin A sin C  sin B sin C ，则 4b  c 的最小值为（ A．9 B．12 ） C．18 【分析】由题意知 sin A sin B  sin A sin C  sin B sin C ， 根据正弦定理，可得 ab  ac  bc ， 因为 a  2 ，所以 2b  2c  bc ， 2 2 2 2 8b 2c 8b 2c 即   1 ，则 4b  c  (4b  c)( c  b )  10  c  b �10  2 c �b  18 ， c b 当且仅当 c  2b  6 时等号成立，即 4b  c 的最小值为 18． 故选：C． D．20 ） 例题 3．在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，若 b  c ， A．  6 B． 由余弦定理得：  4 C．  a 2  2b2 1  3 sin A  3 D． a 2  b 2  c 2  2bc cos A  2b 2  2b 2 cos A  2b 2  1  cos A   Q a 2  2b 2 1  3 sin A  ， cos A  3 sin A ，又 cos A �0 ， tan A   ，则 A  （ 2 3 ， 3 3 ，  Q A � 0,   ， A  6 ．故选：A． S 例题 4．从① c(c  b)  (2  b)(2  b) ，② VABC 的面积 2sin A  bsin B  c(sin C  sin B) 3 (2 cos C  c cos A)c cos A 2 ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答． 已知 VABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若 a  2 ，且________． （1）求 A ； （2）若角 A 的平分线 AM 与 （1）条件选择见解析， A  BC 交于点 M ， AM  3 b c ，求 ， ．  3 （2） b  c  2 【分析】解：若选①Q c (c  b)  (2  b )(2  b) ，  b 2  c 2  4  bc ，  cos A  又Q a  2 ， A  3 若选②：Q a  2 ， b 2  c 2  a 2 b 2  c 2  4 bc 1    2bc 2bc 2bc 2 ， Q 0  A   ， ） S  3 3 3 (2 cos C  c cos A)c cos A  (a cos C  c cos A)c cos A  bc cos A 2 2 ， 2 ， 1 又Q S  bc sin A ， sin A  3 cos A ， tan A  3 ， 2  A ． ， Q0 A 3 若选③：Q a  2 ，  a sin A  b sin B  c (sin C  sin B ) ，  cos A  2 2 2 由正弦定理得 a  b  c  bc ， b 2  c 2  a 2 bc 1   2bc 2bc 2 ，  A ． ， Q0 A 3  （2） 是角 的平分线， �BAM  �CAM  ，Q SVABC  SVABM  SVACM ， 6 A Q AM 1  1  1  即 2 bc sin 3  2 � 3c sin 6  2 � 3b sin 6 ， bc  b  c ， 2 2 由（1）知， b  c  4  bc ，解得 b  c  2 ． 题组二 与不等式有关的问题 1 2 2 例题 2．在△ABC 中，内角 A，B，C 对应的三边长分别为 a，b，c，且满足 c(a cos B  2 b)  a  b . （1）求角 A ； （2）若 a 3 ，求 bc 的取值范围． 1 2 2 因为 c(a cos B  2 b)  a  b ， a2  c2  b2 1 2ac 由余弦定理得 c(a － 2 b)＝a2－b2， 所以 a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2， 即 a2＝b2＋c2－bc. 因为 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以 cos A＝ 1 2  ，则 A＝ 3 . 3 3 （2）由正弦定理得 ＝ a  b  c ＝2， sin A sin B sin C 2 所以 b＝2sin B，c＝2sin C，所以 b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin(A＋B) ＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝3sin B＋ 3 cos B � 2 � 5     1 0,  � � ＝2 3 sin(B＋ 6 )．因为 B∈ � 3 �，所以 B＋ 6 ∈( 6 ， 6 π)．所以 sin(B＋ 6 )∈( 2 ，1]， 则 b＋c∈( 3 ，2 3 ]． 例题 2．在锐角 VABC 中， 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 a  2ccosB  c ． （1）求证： B  2C ． （2）若 c  1 ，求 b 的取值范围． 解：因为 a  2c cos B  c ，由正弦定理得 sin A  2sin C cos B  sin C ， 因为 sin A  2sin C cos B = sin( B  C )  2sin C cos B  sin( B  C ) ， 所以 sin( B  C )  sin C ，则 B  C  C 或 B  C  C   ， 即 B  2C 或 B   （舍去），故 B  2C .  � 0C  � 2 �  � 0  2C  （2）解：因为 是锐角三角形，所以 � ，解得 ， 2 �  �   0    3C  C  � 2 � VABC 6 4 sin B sin 2C b sin B 2 3 c  2 cos C ，所以 所以 2  cos C  2 ，由正弦定理可得： c  sin C ，则 b  sin C � b �( 2, 3) . sin C 例题 3．若函数 f（x）=Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：f（x）的图象向左平移 π  个单位时第一次和原图象重合；对任意的 x∈R 都有 f（x）≤f（ 6 ）=2 成立． （1）求 f（x）的解析式； （2）若锐角△ABC 的内角 B 满足 f（B）=1，且∠B 的对边 b=1，求△ABC 的周长 l 的取值范围 （1）由题意可得：T= 2 =π，解得：ω=2，  � � f  x  �f � � 2 �6 � 成立， ∵对任意的 x∈R 都有  时，f（x）有最大值 2，可得：A=2， 6 ∴x   ∵ 2 �  2k  ，k∈Z， 6 2 又∵0≤φ＜π， ∴  π ， 6 � � f ( x)  2sin � 2x  � 6 �． � ∴ � �   7  5 2sin � 2 B  � 1  2B   2B   6 � � 6 6 ，故 6 6 ， （2）f（B）=1，∴ ，而 6 ∴ �B   3 ，∵△ABC 是锐角三角形， ∴0  A   2     A  ，∴  A  ， ，0  C  2 3 2 6 2 b sin A 2sin A b sin C ,c  ∴△ABC 中，由正弦定理可得 a  sin B  sin B 3 �2 � 2sin �  A � �3 � ， 3 �2 � 2sin �  A � 2sin A �3 � 1  2sin �A   � 1    � � ，∴  A  ，∴ 1�(1  3,3] ． ∴l  3 3 � 6� 6 2 题组三 三角形形状的判断 ☆技巧点拨☆ 判断三角形的形状有以下几种思路：