沈阳二中 2021-2022 学年度上学期 12 月考试 高三（22 届）数学试题 命题人：周兆楠 审校人：黄岩 说明：1．测试时间：120 分钟 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题卡的相应位置上。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的。 z 的值为（ 1．已知复数 z  2  i ，则 z � B． 5 A．5 2．在等差数列 B．2 tan   3 1  sin 2  4 ，则 1  2 sin 2  （ 1 A． 7  4．函数 A f ( x)  x3 ln C．0 D．0 或 2 1 C． 7 D．7 e  cos x e  cos x 的部分图象大致为（ ． B l1 : x  ay  6  0 与 ） ． B． 3 ． C l2 : ( a  2) x  3 y  2 a  0 l D l 平行，则 1 与 2 间的距离为（ 8 2 A． 2 ） ） B． 7 5．若直线 D． 3 C．3  an  中， a2  4 ，且 a1 ， a3 ， a9 构成等比数列，则公差 d  （ A．0 或 2 3．若 ） 8 3 C． 3 D． 3 ） ． 6．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”。他用数形结合的方法给出了勾股定 理的证明，极富创新意识。“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， 如图，若大正方形的面积是 uuur uuur AD � AE  25，小正方形的面积是 1，则 A．16 B．15 7．已知四面体 P  ABC 接球的体积为（ 中， （ ） C．12 AB  AC ， AB  PB ，且 D．9 AB  PB  2 AC  2 PC  3 ， ，则该四面体的外 ） 9  B． 2 A． 9 27  D． 4 C． 8 x2 y 2   1(a >0, b >0) 8．已知双曲线 a 2 b2 左右焦点为 F1 ， F2 ，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 P ， Q 两点， uuur uuuu r PF PQF1 为以 Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ 2  3F2Q 且 ，若 A．3 C． 2 B．2 ） D． 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9．已知 m n ， 是互不重合的直线， A．若 m � C．若 m  ， ， 10．已知双曲线 n � mn ， ， m∥  ∥  ，   n∥  ，则 C : mx 2  ny 2  1 ， 是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ，则 ∥  n∥  ，其焦点 (0,5) B．若 m∥  D．若 m  ， ， m∥  n ， ， ） I  n mn ，则 到渐近线的距离为 3，则下列说法正确的是（ y 2 x2  1 A．双曲线 C 的方程为 16 9 B．双曲线 C 的渐近线方程为 5 C．双曲线 C 的离心率为 4 D．双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 1 3 y� x 4 ，则 m∥ n   ） x 11．设正实数 ， y 满足 2x  y  1 ，则（ ） � 1� x �� 0, � A． � 2� B． xy 的最大值为 4 1 C． x  y 的最小值为 5 D． 4 x  2 y 的最小值为 4 2 1 2 r r r a  (1, 2) b  (  2,1) c  (2, t ) ，下列说法正确的是（ 12．已知平面向量 ， ， ） r r r A．若 (a  b ) ∥ c ，则 t  6 2 r r r t B．若 ( a  b )  c ，则 3 4 r r cos� a , c � C．若 t  1 ，则 5 D．若向量 a 与向量 c 夹角为锐角，则 t  1 r r 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 14．点 y  2 x  ln x  x 3 A(1, 0) ，点 B 是 X 在 x  1 处的切线方程为________________。 轴上的动点，线段 PB 的中点 E 在 Y 轴上，且 AE 垂直 PB ，则 P 点的轨迹方程 为________________。 15．已知长方体 ABCD  A1 B1C1D1 ，若 A1C1 � 与 BD 所成的角为 60 ，则 A1 D 与 BC1 所成角的余弦值为_____ ___。 BD  16．已知矩形， ABCD ， AB  20 ， BC  15 ，沿对角线 AC 将 ABC 折起，使得 角 B  AC  D 481 ，则二面 的余弦值是________________。 四、解答题：本题共 6 小题，17 题 10 分，其他题 12 分，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 17．（10 分）已知圆 C1 : x 2  y 2  6 x  4  0 和圆 C2 : x 2  y 2  6 y  28  0 。 （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆交点且圆心在直线 18．（12 分）已知 Sn ，且 b3  5 ， an x y4 0 上的圆的方程。 是各项均为正数的等比数列，且 S4  16 。 a1  a2  3 ， a3  a2  2 ，等差数列 bn 的前 n 项和为 （1）求数列  an  ，  bn  的通项公式； （2）如图在平面直角坐标系中，有点 P1  a1 , 0  ， P2  a2 , 0  Pn 1  an 1 , O  Q1  a1 , b1  , Q2  a2 , b2  ,�, Qn  an , bn  19．（12 分）已知 ABC 的内角 A ， B ， C ax  4bx  4c  0 有两个相等的实数根，又 2 ，若记 ，…， Pn  an , 0  ， Pn Qn Pn 1 的面积为 cn ，求数列  cn  的前 n 项和 Tn 。 a b c x 所对边分别为 ， ， ，且关于 的一元二次方程 cos( A  C )  cos B  3 2。 （1）求 B ； （2）延长 BC 至 D ，使 BD  6 ，若 ACD 的面积 20．（12 分）如图，在直四棱柱 （1）求证： BD1 ∥ 平面 C1 DE ABCD  A1 B1C1D1 S ACD  2 3 ，求 AD 的长。 中，底面 ABCD 是菱形， E 是 BC 的中点。 ； � AA  （2）已知 �ABC  120 ， 1 2 AB ，求直线 A1D 与平面 C1 DE 所成角的正弦值。 y2 2 E:x   1 的下焦点为 、上焦点为 ，其离心率 e  21．（12 分）已知椭圆 F F 1 2 m 2 。过焦点 F2 且与 x 轴 2 l 不垂直的直线 交椭圆于 （1）求实数 m 的值； A 、 B 两点。 （2）求 ABO （ O 为原点）面积的最大值。 22．（12 分）已知函数 （1）当 a  1 ， x � （2）若函数 g ( x)  f ( x )  axe x  ( x  1)sin x  cos x 。  2 时，求 f ( x ) 的最小值；  � � 7 � f ( x)  sin x  cos x x ��  , 0 �U � 0, � � ， ，若函数 g ( x) 的导函数 g � ( x) 存在零点， �4 � � 4 � x 求实数 a 的取值范围。 沈阳二中 2021-2022 学年度上学期 12 月考试 高三（22 届）数学试题答案 1．A 2．A 3．D 12．BC 13． y  1 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．BD 14． y  4 x( x �0) 2 17．解：（1）设两圆交点为 A  x1 , y1  ， 3 1 15． 5 或 7 B  x2 , y2  10．ACD 11．AC 16． 0.5 ， �x 2  y 2  6 x  4  0? 2 2 则 ， 两点坐标是方程组 � 的解，两式相减得 x y40， �x  y  6 y  28  0 A B Q A ， B 两点坐标都满足此方程， x  y  4  0 即为两圆公共弦所在直线的方程 �x 2  y 2  6 x  4  0? 2 2 （2）解方程组 � 得两圆的交点 A(1,3) ， B (6, 2) ， �x  y  6 y  28  0 设所求圆的圆心为 ( a, b) ，因为圆心在直线 则 (a  1)  (a  4  3)  2 2 x y40 上，所以 ( a  6)  ( a  4  2) ，解得 2 89 �1 7 � ,  �，半径为 所以圆心为 � 2 ， �2 2 � 2 a b  a4 1 2， ， 2 2 � 1 � � 7 � 89 x  � �y  � 所以圆的方程为 � ，即 x 2  y 2  x  7 y  32  0 。 � 2� � 2� 2 18．（I）设数列 由已知得  an  的公比为 q ， a1  a1q  3, � � 2 a1q  a1q  2, 得 3q 2  5q  2  0 ，解得 q  2 （舍负）， a1  1 ，则 an  2n 1 。 q  0 ，则 � b1  2d  5, � � 设数列  b  的