第五章一元函数的导数及其应用单元检测题（基础巩固 篇） 一、单选题 1．已知二次函数 A．1 f  x 的图象的顶点坐标为 B．0  1, 2  ，则 f�  1 的值为（ C．－1 ） D．2 2．一物体的运动满足曲线方程 s(t)＝4t2＋2t－3，且 s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是 （ ） A．物体 5 s 内共走过 42 m B．物体每 5 s 运动 42 m C．物体从开始运动到第 5 s 运动的平均速度是 42 m/s D．物体以 t＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过 1 s，物体运动的路程为 42 m 1 3．函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx 在 x＝ a 处有极值，则 ac＋2b 的值为（ ） A．－3 D．3 B．0 C．1 4．函数 y＝x2＋2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0 的平均变化率 为 k2，则（ ） A．k1<k2 C．k1＝k2 B．k1>k2 D．不确定 5．汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]， [t2，t3]上的平均速度分别为 A． C． ，则三者的大小关系为（ ） v1  v2  v3 B． v2  v1  v3 6．函数 （ v1 , v2 , v3 y  f  x D． 的图象在点 P  5, f  5   v3  v2  v1 v2  v3  v1 处的切线方程是 y  x  8 ，则 f  5  f �  5  ） 1 A． 2 B．1 C．2 D．0 7．已知函数 f ( x)  2  x3  x  1  sin x A． (�,1) ，则 f ( x)  f (3 x  2)  4 的解集为（ C． (�, 2) B． (1, �) ） D． (2, �) 8．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛 顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程 零点 r，取初始值 x2 x0 处的切线与 x 轴的交点为 ，一直这样下去，得到 x0  2 x0 ， x1 ， x2 ，…， ，则用牛顿法得到的 r 的近似值 A．1.438 x2 x1 xn ， 在 x1 的根就是函数 B．(cos x)′＝－sin x C．(2x)′＝2xln 2 1 D．(lg x)′＝－ x ln10 y  f ( x) 导函数 D．1.375 ） 1 1 A． ( ) ′＝ 2 x x 10．如图是函数 f ( x) =x 2 - 2 ） C．1.415 二、多选题 9．(多选题)以下运算正确的是（ y  f �( x) f  x 的 处的切线与 x 轴的交点为 ，它们越来越接近 r.若 约为（ B．1.417 f  x f  x  0 的图象，下列选项中正确的是（ ） ， A．在 C．在 x2 x3 处导函数 处函数 y  f �( x) y  f ( x) 有极大值 有极大值 B．在 D．在 x1 x5 ， x4 处导函数 处函数 y  f �( x) y  f ( x) 有极小值 有极小值 11．某港口一天 24h 内潮水的高度 S（单位：m）随时间 t（单位：h， 0 �t �24 ）的变 �π5π � S  t   3sin � t  � 3 �，则下列说法正确的有（ ） �6 化近似满足关系式 3 3 m/h 0, 2 S t     A． B．一天内有 2 次潮水起落的瞬时速度最 在 上的平均变化率为 4 大 C．当 t  10 时，潮水起落的瞬时速度最大 D．当 t  4 时，潮水起落的瞬时速度为 π m/h 6 12．已知函数 f  x 的导数为 f�  x ，若存在 x0 ，使得 的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ A． f  x   x 2 B． f  x   1 x f  x0   f �  x0  ，则称 x0 是 f  x ） C． f  x   ln x D． f  x   tan x 三、填空题 f  x   e1 x  0, f  0   处的切线方程为___________. 13．曲线 在点 14．已知 f ( x )  1 sin x ，则 � 的值为___________. f ( ) x 1 3 2 15．函数 f  x   x  x  3x  2 的单调增区间是________． 3 16．若 f ( x) 的图像上存在两点 AB 关于原点对称，则点对 [ A, B ] 称为函数 f ( x) 的“友情点 �x 3 ln x, x  0 f ( x)  � 2 对”（点对 [ A, B] 与 [ B, A] 视为同一个“友情点对”.）若 �ax , x �0 ，恰有两个“友 情点对”，则实数 a 的取值范围是___________. 四、解答题 17．已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示： （1）甲、乙两人的平均速度各是多少？ （2）在接近终点时，甲乙两人谁的速度更快？ 18．求下列函数的导数： （1） y  (2 x 2  1)(3x  1) ； （2）y＝excosx； （3） y  sin x x 2 2 19．已知函数 f ( x)  x  x . （1）求函数 （2）求函数 y  f  x y  f  x 20．已知函数 在点  2,5  处的切线方程； 的单调区间. f  x   a ln x  bx 2  x 在 x  1 处的切线方程 （1）求 a ， b 的值； （2）求 f  x 的单调区间与极小值． 1 3 21．已知函数 f ( x)  3 x  4 x  1 ． （1）求曲线 y  f ( x) 在点  0, f (0)  处的切线方程； 6x  y  2  0 ． （2）求 y  f ( x) 22．已知函数 在  1,1 上的最大值和最小值． f  x   ln x  ax （1）当 a  2 时，求 （2）若 x  0 ， f  x f  x  0 （ a 是正常数）. 的单调区间与极值； ，求 a 的取值范围； 参考答案 1．B 【分析】 利用顶点切线平行于 x 轴求解 【详解】 ∵二次函数 为 0，∴ f  x 的图象的顶点坐标为 f�  1  0  1, 2  ，∴过点 ， 故选：B． 2．D 【分析】 根据瞬时速度的定义即可得出选项. 【详解】 由导数的物理意义知， s′（5）＝42(m/s)表示物体在 t＝5 s 时的瞬时速度． 故选：D. 3．A 【分析】 �1 � f ' � � 0 利用 �a � 来求得正确答案. 【详解】 f '  x   3ax 2  2bx  c . 1 1 �1 � f ' � � 3a � 2  2b �  c  0 a a 依题意 �a � ， 3  2b  ac  0 � ac  2b  3 . a 故选：A 4．D 【分析】  1, 2  的切线平行于 x 轴，即切线的斜率 计算出 k1 , k 2 ，求出 k1－k2＝2Δx，即得解. 【详解】 ( x0  x )2  x02 x 解：由题得 k1＝ ＝2x0＋Δx， x02  ( x0  x) 2 x k2＝ ＝2x0－Δx. 所以 k1－k2＝2Δx，因为 Δx 的正负不确定，所以 k1 与 k2 的大小关系也不确定. 故选：D 5．B 【分析】 根据平均速度的几何意义对 v1 , v2 , v3 进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 设直线 则 v1  O ' A, AB, BC s  t1   s  t0  t1  t0 的斜率分别为  kO ' A s  t2   s  t1   k AB t2  t1 ， v3  s  t3   s  t2   kBC t3  t 2 ， ， v2  由题中图象知 即 v3  v2  v1 kO' A , k AB , k BC k BC  k AB  kO ' A ， . 故选:B 6．C 【分析】 利用切线斜率和切点坐标直接求解 ， 【详解】 (5)  1 ，将 x  5 代入切线方程，得 f (5)  5  8  3 ，所以 由题意可知 f � f (5)  f � (5)  3  ( 1)  2 ． 故选：C 7．A 【分析】 设 g ( x)  f ( x)  2  2 x 3  2 x  sin x 增，然后不等式 ，然后可得函数 f ( x )  f (3x  2)  4 可化为 g ( x) 为奇函数，函数 g ( x)  g (3 x  2) g ( x) 在 R 上单调递 ，然后可解出答案. 【详解】 设 g ( x)  f ( x)  2  2 x 3  2 x  sin x g� ( x)  6 x 2  2  cos x  0 ，可得函数 ，所以函数 g ( x) 在 R g ( x) 为奇函数， 上单调递增， f ( x)  f (3x  2)  4 � f ( x)  2   f (3x  2)  2 � g ( x)   g (3x  2) � g ( x)  g (3 x  2) 所以  x  3 x  2 � x  1 ． 故选：A 8．B 【分析】 利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得 x2 . 【详解】 由题意，得 所以曲线 f�  x  2x y  f  x ， 在点 3 令 y  0 ，得 x1  2 . f  2  4  2  2  2, 2 