第六章　 6.2 　平面向量的运算 6.2.4 　向量的数量积 学习目标 XUE XI MU BIAO 1. 了解向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功 . 2. 掌握向量数量积的定义及投影向量 . 3. 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直 . 4. 掌握向量数量积的运算律及常用的公式 . 知识梳理 内容索引 NEI RONG SUO YIN 题型探究 随堂演练 1 PART ONE 知识梳理 知识点一　两向量的夹角与垂直 1. 夹角：已知两个非零向量 a 和 b ， O 是平面上的任意一点，作 ＝ b∠AOB ， 则 ＝ θ(0≤θ≤π) 叫做向量 a 与 b 的夹角 ( 如图所示 ). 当 θ ＝ 0 时， a 与 b 同向 ；当 θ ＝ π 时，反向 a与b . 2. 垂直：如果 a 与 b 的夹角是 ，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. ＝a， 知识点二　向量数量积的定义 |a||b|cos θ 非零向量 a ， b 的夹角为 θ ，数量 叫做向量 a 与 b 的数量积 ( 或内 |a||b|cos θ 0 积 ) ，记作 a·b ，即 a·b ＝ ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 . 思考　若 a≠0 ，且 a·b ＝ 0 ，是否能推出 b ＝ 0. 答案　在实数中，若 a≠0 ，且 a·b ＝ 0 ，则 b ＝ 0 ；但是在数量积中，若 a≠0 ，且 a·b ＝ 0 ，不能推出 b ＝ 0. 因为其中 a 有可能垂直于 b. 知识点三　投影向量 |a|cos θ e 知识点四　平面向量数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 θ ， e 是与 b 方向相同的单位向量 . 则 (1)a·e ＝ e·a ＝ |a|·cos θ. |a||b| ， a 与 b 同向， (2)a⊥b⇔a·b ＝ 0. － |a||b| ， a 与 b 反向 . (3) 当 a∥b 时， a·b |a|2 ＝ ≤ 特别地， a·a ＝ (4)|a·b| |a||b|. 或 |a| ＝ . 知识点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b ＝ b·a ( 交换律 ). λ(a·b) a·(λb) 2.(λa)·b ＝ ＝ ( 数乘结合律 ). 3.(a ＋ b)·c ＝a·c ＋ b·c ( 分配律 ). 思考　若 a·b ＝ b·c ，是否可以得出结论 a ＝ c? 答案　不可以 . 已知实数 a ， b ， c(b≠0) ， 则 ab ＝ bc⇒a ＝ c ， 但是 a·b ＝ b·c 推不出 a ＝ c. 理由如下： 如图， a·b ＝ |a||b|cos β ＝ |b||OA| ， b·c ＝ |b||c|cos α ＝ |b||OA|. 所以 a·b ＝ b·c ，但是 a≠c. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1. 向量 a 在向量 b 上的投影向量一定与 b 共线√.( 　　 ) ×.( 　　 ) 2. 若 a·b<0 ，则 a 与 b 的夹角为钝角 3. 向量的数量积运算满足 (a·b)·c ＝ a·(b·c).(× 　　 ) 4. 已知 a≠0 ，且 a·c ＝ a·b ，则 b ＝×c.( 　　 ) 2 PART TWO 题型探究 一、求两向量的数量积 例 1 　已知正三角形 ABC 的边长为 1 ，求： 反思 感悟 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须 重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件 . 跟踪训练 1 　已知 |a| ＝ 4 ， |b| ＝ 7 ，且向量 a 与 b 的夹角为 120° ，求 (2a ＋ 3b)·(3a － 2b). 解　 (2a ＋ 3b)·(3a － 2b) ＝ 6a2 － 4a·b ＋ 9b·a － 6b2 ＝ 6|a|2 ＋ 5a·b － 6|b|2 ＝ 6×42 ＋ 5×4×7·cos 120° － 6×72 ＝－ 268. 二、向量的模和夹角的计算问题 例 2 　 (1) 已知向量 a ， b 的夹角为 60° ， |a| ＝ 2 ， |b| ＝ 1 ，则 |a ＋ 2b| ＝ _____. 解析　方法一 方法二　 ( 数形结合 法 |a| ) ＝ |2b| ＝ 2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB ，如图，则 |a ＋ 由 2b| ＝ . (2) 已知非零向量 a ， b 满足 |a| ＝ 1 ，且 (a － b)·(a ＋ b) ＝ ① 求 |b| ； . ② 当 a·b ＝－ 时，求向量 a 与 a ＋ 2b 的夹角 θ 的值 . 解　因为 |a ＋ 2b|2 ＝ |a|2 ＋ 4a·b ＋ |2b|2 ＝ 1 － 1 ＋ 1 ＝ 1 ，故 |a ＋ 2b| ＝ 1.