2.2.1 直线的点斜式方程 一、单选题 1．过点 A． C． C． 且倾斜角为 135o 的直线方程为（ 3x  y  4 3  0 B． x y 3 0 2．直线 A． P ( 3, 2 3) y  k  x  1  2 D． 恒过定点（  1, 2  x y 3 0 x y 3 0 ） B．  2, 1 ） D．  1, 2  2,1 3．直线 y  kx  b 经过第二、三、四象限，则斜率 k 和在 y 轴上的截距 b 满足的条件为（ ） A． k  0 ， b  0 B． k  0 ， b  0 C． k  0 ， b  0 D． k  0 ， b  0 4．经过点  1,1 ，且方向向量为  1, 2  的直线方程是（ ） A． 2 x  y  1  0 B． 2 x  y  3  0 C． x  2 y  1  0 D． x  2 y  3  0 5．过点 (1, 0) 且斜率为 2 的直线在 y 轴上的截距是（ B． 1 A．1 6．过点 A  1,1 C． 2 ） D． 2 l 3x  y  1  0 的直线 l 的倾斜角是直线 1 : 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的方程是（ ） A． C． 3x  y  3  1  0 B． 3x  3 y  3  3  0 D． 3x  y  3  1  0 3x  3 y  3  3  0 二、多选题 1 7．直线 y＝ax＋ a 可能是（ A． ） B． 8．下列说法正确的有（ C． D． ） A．若直线 y  kx  b 经过第一、二、四象限，则 (k , b) 在第二象限 B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C．过点 (2, 1) 斜率为  3 的点斜式方程为 y  1   3( x  2) D．直线的斜率越大，倾斜角越大 三、填空题  9．过点 P  1,3 且倾斜角为 3 的直线方程是_______. 10．经过 P  1,1 的直线都可以用 四、解答题 11．已知 VABC 的顶点坐标为 y  1  k  x  1 A  5, 1 ， 表示.（_______）（填“正确”或“错误”） B  1,1 ， C  2,3 ． （1）试判断 VABC 的形状； （2）求 AC 边上的高所在直线的方程． 1 12．已知直线 l 的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 ，求直线 l 的方程． 13．已知△ABC 在第一象限，若 A(1,1), B (5,1) ， �A  60o, �B  45o ，求： （1）边 AB 所在直线的方程； （2）边 AC 和 BC 所在直线的点斜式方程． 14．求适合下列条件的直线方程： （1）经过点 P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）直线经过点 A(－ 3 ，3)，且倾斜角为直线 3 x＋y＋1＝0 的倾斜角的一半； （3）在△ABC 中，已知 A(5，－2)，B(7，3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，求直线 MN 的方程． 参考答案 1．D 【分析】 o 由倾斜角为 135 求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】 o 解：因为直线的倾斜角为135 ，所以直线的斜率为 k  tan 135� 1 ， 所以直线方程为 y  2 3  ( x  3) ，即 x y 3 0 ， 故选：D 2．B 【分析】 由 x  1 时， y  2 可得到定点坐标. 【详解】 当 x  1  0 ，即 x  1 时， 故选：B. 3．B y2 y  k  x  1  2  1, 2  . ， 直线 恒过定点 【分析】 作出 y  kx  b 的图象，由图象可得结论. 【详解】 在平面直角坐标系中作出 y  kx  b 图象，如图所示： 由图可知： k  0 ， b  0 . 故选：B. 4．A 【分析】 由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】 Q 直线的方向向量为  1, 2  ， 直线的斜率 k  2 ，  直线的方程为 y  1  2  x  1 ，即 2 x  y  1  0 . 故选：A. 5．D 【分析】 首先根据点斜式写出直线的方程，化成截距式即可求出截距. 【详解】 x y 因为过点 (1, 0) 且斜率为 ，所以 y  0  2  x  1 ，即 y  2 x  2 ，化成截距式 1  2  1 ， 2 所以直线在 y 轴上的截距是 2 ， 故选：D. 6．B 【分析】 l2 l1 由 的斜率得倾斜角，从而得直线 的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】 k1  tan   3 k  tan120�  3 ，   60�，所以 ，所以直线 l 的方程是： y  1   3  x  1 3x  y  3  1  0 ，即 ． 故选：B． 7．AB 【分析】 分类讨论 a  0 和 a  0 时，直线的位置． 【详解】 因为 a≠0，所以 C 错； 1 当 a＞0 时， a ＞0，不过第四象限，故 A 对； 1 当 a＜0 时， a ＜0，不过第一象限，故 D 错，B 对． 故选：AB 8．AC 【分析】 A 中，由直线 y  kx  b ( k , b) k b 过第一、二、四象限得出 、 的取值范围，判断点 所在象限； B 中，倾斜角为 90� 时斜率不存在； C D 中，由点斜式方程写出对应的直线方程； 中，在 [0� 180� ) ， 时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大. 【详解】 解：对于 A ，若直线 y  kx  b 经过第一、二、四象限，则 k  0 ， b  0 ，所以点 (k , b) 在第二象限，选项 A 正确； 对于 B ，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为 90�时斜率不存在，所以选项 B 错误； 对于 C ，由点斜式方程知，过点 (2, 1) 斜率为  3 的点斜式方程为 y  1   3( x  2) ，所以选项 C 正确； ) 内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在 (90� ,180� ) 时，直线的斜率越大，倾斜角也 对于 D ，在 [0�， 90� ) 时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项 D 错误. 越大；在 [0�，180� 故选： AC . 9． 3x  y  3  3  0 【分析】 先求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后化简即可得出答案. 【详解】 ∵直线倾斜角为 ∴直线方程为： 故答案为：   k  tan  3 ，又∵直线过点 P  1, 3 ， ，∴斜率 3 3 y  3  3  x  1 � 3 x  y  3  3  0 3x  y  3  3  0 . . 10．错误 【分析】 直线 x 1 过 P(1,1) 点，但不能用点斜式 y  1  k (x  1) 表示，即可知命题的正误. 【详解】 点 P(1,1) P(1,1) 一定在直线 y  1  k (x  1) 上，即存在斜率的直线；对于斜率不存在的直线，同样有直线 ，所以描述不正确. 故答案为：错误. 【点睛】 本题考查了过定点的直线方程，过定点的直线要考虑斜率存在或不存在两种情况，属于简单题. x 1 过 11．（1）直角三角形；（2） 3 x  4 y  1  0 . 【分析】 (1)先求 AB, AC , BC 直线的斜率,再根据斜率关系即可判断; (2)由 k AC  4 3  3 得 AC 边上高线所在直线的斜率为 4 ,进而根据点斜式求解即可. 【详解】 11 1 3 1 3 1 4 解：（1）Q k AB  1  5  2 , k BC  2  1  2 ， k AC  2  5  3  k AB � k BC  1 ，  AB  BC ， VABC 为直角三角形 （2）因为 k AC  3   1 4  2   5  3 ， 3 所以， AC 边上高线所在直线的斜率为  4  3 直线的方程是 y  1   4  x  1 ，即 3 x  4 y  1  0 12．y＝－x＋1 或 y＝－x－1． 【分析】 先根据题意按点斜式写出直线方程，再分别令 x  0 ， y  0 得与坐标轴的交点坐标，根据直角三角形面积 公式可得方程，即可求出直线 l 的方程． 【详解】 解：设直线 l 的方程为 y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为 A(b，0)和 B(0，b)，所以围成的两个直角边 长都为|b|， 1 2 故其面积为 2 b ， 1 2 1 由 2 b  2 ，解得 b＝±1， 故所求直线的方程为 y＝－x＋1 或 y＝－x－1． 13．（1） y 1 ；（2） y  1  3( x  1) ， y  1  ( x  5) ． 【分析】 （1）由点 A(1,1), B (5,1) ，得到 A, B 两点的纵坐标均为 1，即可求解； （2）因为 AB 平行于 x 轴，求得 k AC  3 ， k BC  1 ，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】 （1）由题意，点 A(1,1), B (5,1) ，可得 A, B 两点的纵坐标均为 1， 所以 AB 边所在直线的方程为 y  1 . （2）因为 AB 平行于 x 轴，且 VABC 在第一象限，且 k BC  tan(180o  45o)   tan 45o  1 所以直线 AC 的方程为 k AC  tan 60o  3 ， ， y  1  3( x  1) ，直线的方程为 14．（1）2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0；（2） 3 y  1  ( x  5) ． x－y＋6＝0；（3）5x－2y