和平区 2020—2021 学年度第二学期高三年级第三次质量调查 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分 钟.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页. 答卷前，考生务必将自己的考场座位号、姓名、准考证号填涂在答题卡上.答卷时，考生 务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 参考公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P  A U B   P  A  P  B  如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么 P  AB   P  A  P  B  . . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A  x R x 2 ， B   x �R x  1 ，则 A U B  （ ）. A.  �, 2 B.  2,2 C.  1, 2 D.  2,1 【答案】A 2. “直线 l 与平面  内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面  垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件 【答案】B 3. 某市通过统计 50 个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依 次为：  4, 6  ，  6,8 ，  8,10  ，  10,12  ，  12,14  ，  14,16  ，  16,18  .为了鼓励率先实施垃圾分类回收， 将日均垃圾量不少于 14 吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（ A. 4 B. 10 C. 19 ）. D. 40 【答案】B 4. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她 怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的 作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线， 而是与解析式为 y e x  e x 2 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3 �1 � 1 �， c  log 3 ，则 ， ， 5. 设 ，b  � �5 � a3 a b c 5 1 5 A. bac B. acb 大小关系为（ ）. 的 C. cab D. cba 【答案】D 6. 在圆柱 O1O2  2 A. O1O2 内有一个球 O ，球 O 分别与圆柱 ，则圆柱 4 O1O2 的表面积为（ B. O1O2 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若 ）. 5 C. 6 D. 7 【答案】C x2 y 2  1 7. 已知点 F 是双曲线 a 2 b 2 （ a  0 ， b  0 ）的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个 端点与点 F 恰好是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ 1+ 2 A. 2 1 5 B. 2 ）. C. 1  2 D. 1  5 【答案】B 8. 已知函数 ）. f  x    a sin x  cos x  cos x  1 2  图象的一条对称轴为 6 ，则下列结论中正确的是（ 的 x � 7 �  ,0� A. � � 12 �是 f  x  图象的一个对称中心 B. f  x 是最小正周期为  的奇函数 �  �  , C. f  x  在 � �3 3� �上单调递增 1  D. 先将函数 y  2sin 2 x 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 2 ，然后把所得函数图象再向左平移 6 个单位 长度，即可得到函数 f  x 的图象 【答案】A uuu r uuur uuu r uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r 9. 在 ABC 中， OA  OB  OC  0 ， AE  2 EB ， AB   AC ，若 AB � AC  9 AO � EC ，则实数  3 3 A. 3 B. 2 C. 6 3 【答案】D 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 11 小题，共 105 分. 二、填空题：本大题共 6 小题. z   2  i   1  2i  10. i 是虚数单位，复数 ，则 z 的共轭复数 z  ______. 【答案】 4  3i 1 6 11. (2 x  x ) 展开式中常数项是___________. 的 6 D. 2 【答案】-160 12. 设 a �R ，已知抛物线 y  4 x 的准线 l 与圆 C : x  y  2ax  2 3 y  0 相切，则 a  ______. 2 2 2 【答案】 1 13. 某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在 1 1 一局比赛中，甲战胜乙的概率是 2 ，两人和棋的概率是 6 ，则乙战胜甲的概率是______；甲乙两人比赛 2 局，每局胜方记 3 分，负方记 0 分，和棋双方各记 1 分，则甲得分不少于 2 分的概率是______. 1 (1). 3 【答案】 7 (2). 9 x  2y 4  14. 若正实数 x ， y ， z 满足 x  3 y  2 z  1 ，则 2 y  4 z x  2 y 的最小值是______. 【答案】 42 2 � �ln x , x  0 f  x  � 2 15. 已知函数 �x  4 x  3 , x �0 ，若函数 g  x   ax  a �R  使得方程 f  x   g  x  恰有 3 个不 同根，则实数 a 的取值范围为______.  a | 0 �a  【答案】 1 a  2 34 e或  三、解答题：本大题共 5 小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知 cos B  VABC 中，角 1 4. （Ⅰ）求 a 的长； A ， B ， C a b c 的对边分别为 ， ， ，若 b sin A  2c sin B ，且 b3 ， （Ⅱ）求 tan C （Ⅲ）求 值； 的 tan  2B  C  的值. 15 7 15 【答案】（Ⅰ） a  3 ；（Ⅱ） 7 ；（Ⅲ）  17 17. 如图，在四棱锥 BC  3 ．过点 A PG : PB  2 : 3 （Ⅰ）求证： P  ABCD 做四棱锥 ， E AG // 为 PA  P  ABCD PD 平面 中， 平面 的截面 ． ABCD AEFG ， AD  CD ，分别交 PD ， ， AD //BC PC ， PB ， PA  AD  CD  2 于点 E, F , G ， ，已知 的中点． PCD ； （Ⅱ）求 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值． 30 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 10 ． 18. 已知椭圆 C : （Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ）已知点 C 3 x2 y 2  2  1(a  b  0) 的离心率 e  2 a b 2 ，且经过点 D(0,1) . 的方程； A(1, 0) 和点 B(4, 0) l ，过点 B 的动直线 交椭圆 论 �BAM 与 �OAN 的大小关系，并说明理由. C 于 M,N 两点（ M 在 N 左侧），试讨 x2  y2  1 【答案】（Ⅰ） 4 ；（Ⅱ） �BAM  �OAN ，理由见解析. 19. 已知  an  是各项都为整数的等比数列，  bn  是等差数列， a1  b1  1 ， 5a2  2  2a1 ， a2  b2 . （Ⅰ）求  an  和  bn  的 通项公式； n n a （Ⅱ）设 � k k 1 a 表示数列  a  的前 n 项乘积，即 � n k 1 k  a1a2 a3 � � � an ， n �N* . n （ⅰ）求 �a k k 1 ； n （ⅱ）若数列  cn  的前 n 项和为 S n b ，且 � k 1 k  cn cn 1  S  1. n ，求证： n  1 n 【答案】（Ⅰ） an  2n 1 ， bn  n ；（Ⅱ）（ⅰ） 2 f  x  20. 已知函数 （1）求函数 x e y  f  x （2）证明：（ⅰ） （ⅱ） n �N ， e  【答案】（1） n 1 x 1  x ln x n2  n 2 ；（ⅱ）证明见解析. ． 在 x  1 处的切线方程； f  x  2 ；   2n  ln n  ． x y20 n ；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析． 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635