第一章 空间向量与立体几何 （知识达标卷） 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知向量 r r a  (3, 2,5), b  (1, x, 1) A.3 ,且 r r a� b 2 C.5 r r l P l  an 2.设直线 的方向向量是 ,平面 的法向量是 ,则” "是“ "的 r a B.4 x ,则 的值为 D.6 r n A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 N,G OABC OA OM  2MA M 3.如图,在四面体 ,点 中,点 在棱 上,且满足 分别是线段 uuu r uuur uuur uuur BC , MN OA, OB, OC OG 的中点,则用向量 表示向量 应为 uuur 1 uuu r 1 uuur 1 uuur B. OG  OA  OB  OC 3 4 4 uuur 1 uuu r 1 uuur 1 uuur D. OG  OA  OB  OC 3 4 4 uuuu r uuur ABCD  A1 B1C1 D1 AD  AA1  1, AB  2 BD � AD 4.如图,在长方体 ,则 1 中,设 等于 uuur 1 uuu r 1 uuur 1 uuur A. OG  OA  OB  OC 3 4 4 uuur 1 uuu r 1 uuur 1 uuur C. OG  OA  OB  OC 3 4 4 A. 1 B. 2 C. 3 6 D. 3 5.已知 r r r a  (2, 1,3), b  ( 1, 4, 2), c  (7,5,  ) A. 0 B. 6. 二 面 角 的 棱 上 有 A, B ,若 r r r a, b , c 35 7 两点,直线  三个向量不能构成空间的一个基底,则实数 的值为 C. 9 AC , BD D. 65 7 分别在这个二面角的两个半平面内 ,且都垂直于 AB ,已知 AB  4, AC  6 BD  8, CD  2 17 , ,则该二面角的大小为 A. 150� B. 45� C. 60� D. 120� 7.在《九章算术》中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 BCD BC  CD , ，且 AB  BC  CD M , 为 AD 的中点,则异面直线 BM 与 CD A  BCD 中， AB 所成角的余弦值为 ⊥平面 2 A. 3 3 B. 4 8.在正四棱柱 3 C. 3 ABCD  A1 B1C1 D1 中, 2 D. 4 AA1  4 AB  BC  2 P, Q C1 D, AC PQ , ,动点 分别在线段 上,则线段 长度 的最小值是 2 2 A. 3 2 3 B. 3 2 5 D. 3 4 C. 2 二、多项选择题: 本题共 4 小题,共小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中 ,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. A(0,1,0), B(2, 2, 0), C (1,3,1) 9.已知空间中三点 ,则下列结论正确的有 A. uuur AB 与 uuur AC 是共线向量 B.与 55 uuur uuur  C. AB 与 BC 夹角的余弦值是 11 uuur AB 共线的单位向量是 (1,1, 0) D.平面 ABC 的一个法向量是 (1, 2,5) uuuu r uuuu r ABCD  A1 B1C1D1 BD1 D1 P   D1 B P 10.设动点 在正方体 ,当 �APC 为钝角时,实数  的可 的体对角线 上,记 能取值是 2 B. 3 1 A. 2 1 C. 3 D. 1 11.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则下列结论中正确的是 A. AC  BD B.异面直线 C. ADC 为等边三角形 D.直线 12.如图,已知在长方体 BED1 与棱 A.四棱锥 AA1 E B1  BED1 F 为 中,  与平面 BCD 所成角的大小为 3 AB AB  3, AD  4 AA1  5 , 交于点 F ,则下列说法正确的是 E B.存在唯一的点 C.当点 ABCD  A1B1C1D1  与 CD 所成角的大小为 3 AB CC1 的体积为 20 ,使截面四边形 的中点时,在直线 D.存在唯一一点 E ,使得 B1 D  BED1 F AD 平面 的周长取得宝小值 上存在点 BED1 ,且 G ,使得 CE  3 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 74 CG  73 ,点 E 为 CC1 上的一个动点,平面 13.已知点 A(1,1, 0), B(1, 2, 0), C (2, 1, 0), D(3, 4, 0) 14.在平面直角坐标系中,点 轴的对称点 B� 的坐标为 A(1, 2) ,若点 ,则 uuur AB 在 uuur CD 上的投影向量的长度为 . A� (1, 2) B(1, 2,3) x x ,则在空间直角坐标系中, 关于 轴的对称点为 关于 C (1, 1, 2) 关于平面 x0 y 的对称点为点 C  C� B�� ,则 （本题第一空 2 分,第二空 3 分) 15. 如 图 , 在 长 方 体 中 , D1 EC 的距离为 AD  AA1  2 AB  3 B1 E AB , ,若 为 中点,则点 到平面 . 16. 在 四 棱 锥 P  ABCD 中 , PD  底 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 且 PD  AB  1, G ABC PG ABCD . 为 的重心,则 与底面 所成角的正弦值为 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ABC  A1 B1C1 A1 B, B1C1 BM  2 A1 M , C1 N  2 B1 N M N 17. 如 图 , 在 三 棱 柱 .设 中, , 分别是 上的点,且 r r uuur r uuur r uuuu AB  a , AC  b AA1  c , . uuuu r r r r a, b , c MN (1)试用 ; 表示向量 (2)若 �BAC  90� , �BAA1  �CAA1  60� , AB  AC  AA1  1 r r a  (1,5, 1), b  ( 2,3,5) 18.已知向量 r r r r (ka  b ) P(a  3b ) k (1)若 ,求 的值; (2)以坐标原点 O 为起点作 19.如图,在四棱锥 MN 的长. . uuu r r uuur r OA  a , OB  b M  ABCD ,求 中,底面 ,求点 ABCD O d 到直线 AB 的距离 . 是平行四边形,且 AB  BC  1, MD  1, MD  MB 的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答. 平面 ABCD, H 是 ① 二面角 A  MD  C 的大小是 2  ;② �BAD  .若 3 2 ,求直线 CH 与平面 MCD 所成角的正弦值. 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分. 20.如图,在长方体 (1)证明:点 (2)若 在平面 AEF AB PA, PC (1)记平面 是圆 O 中,点 E, F ,求二面角 的直径,点 C 是圆 A  EF  A1 O 上异于 BEF ,异面直线 DD1 , BB1 上,且 2 DE  ED1 , BF  2 FB1 . 的正弦值. A, B 的点,直线 PC  平面 ABC , E , F 分 的中点. 与平面 ABC l l 的交线为 ,试判断直线 与平面 (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为  分别在棱 内; AB  2, AD  1, AA1  3 21.如图, 别是 C1 ABCD  A1 B1C1 D1 PQ 与 22.如图,在三棱柱 EF 所成的角为二面角 ABC  A1 B1C1 的位置关系,并加以证明; uuu r uuur 1 ,且点 Q 满足 DQ  CP ,记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 2 D E l C 中,四边形 PAC AA1C1C 的大小为  ,求证: sin   sin  sin  是边长为 4 的正方形, . 平面 ABC  (1)求证: 平面 AA1  (2)求二面角 AA1C1C , AB  3 BC  5 , . 平面 ABC A1  BC1  B1 ; 的余弦值; BD (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D ,使得 AD  A1 B ,并求 BC1 的值 参考答案 1.C【解析】∵ r r r r a  ( 3, 2,5), b  (1, x, 1), a � b  3  2 x  5  2 r r r ,解得 x  5 ,故选 C. r r r r r 2.B【解析】由 l / / ,得 a  n ,则:“ a  n ”是“ l / / ”的必要条件;由 a  n ,得 l / / 或 l � ,则“ a  n ” r r 不是" l / / "的充分条件.故“ a  n ”是“ l / / ”的必要不充分条件.故选 B. uuur 1 uuuur 3. A 【解析】连接 ON ,因为 N , G 分别为 BC , MN 的中点,所以 OG  2 OM  r 1 1 uuu r uuur uuur 1 uuu r 1 uuu r 1 uuur 1 uuur 1 2 uuu ON  � OA  � (OB  OC ) ,化简得到 OG  OA  OB  OC ,故选 . 2 2 3 2 2 3 4 4 A