平面向量的运算--单元检测 一、 单选题 1.下面几个命题： ① 若 a=b ，则 ¿ a∨¿∨b∨¿ ； ② 若 a ∙ b=0 ，则 a=0 或 b=0 ； ③ 若 ¿ a∨¿∨b∨¿ ，则 a=b ； ④ 若向量 a ， b 满足 { ¿ a∨¿∨b∨¿ a/¿ b , 则 a=b ． ¿ ¿ 其中正确命题的个数是 ¿ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 uuur uuur � C  90 � AC 上的投影向量为（ ） AB 2.在直角三角形 ABC 中， ，则向量 在向量 uuur A. AC uuu r CA C. uuur B. AB ⃗ ¿⃗ ⃗ ⃗ ¿ 3.化简 AB + BC +CD + DA =¿ ⃗ A. uuu r CB D. ⃗ AC ⃗ B. BA 4.已知 ∠ ABC =120 ∘ ， AB=2 ， BC =1 ，则 A. 2 ⃗ C. CA B. 2 ❑√ 2 D. 0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ A. C. AB − AD =BD ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ¿ D. 4 C. 2 ❑√ 3 ¿ 5.在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ¿ AB =DC ¿ ⃗ | AB − 2 BC|=¿ ¿ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ B. AD + AB = AC D. AD +CD =BD ⃗ 6.在 △ ABC 中， ¿ AB ∨¿∨BC ∨¿∨ AB + BC ∨¿ ，则 △ ABC 是 () A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 7.如图， D ， E ， F 分别是 △ ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中 ¿ 点，则 ¿ ¿ A. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AD + BE +CF =0 B. BD −CF + DF =0 C. AD +CE −CF =0 ⃗ D. BD − BE − FC =0 8.如图所示的 △ ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 ⃗¿ E 是线段 AB 的中点，则 DE =¿ 1 ⃗ 1 ⃗ A. − 3 BA − 6 BC 1 ⃗ 1 ⃗ − BA − BC 6 3 ¿ 5 ⃗ 1 ⃗ B. − 6 BA − 3 BC C. 5 ⃗ 1 ⃗ − BA + BC D. 6 3 9.在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交 于点 O ， E 是线段 OD 的中点， AE 的 ⃗ 延长线与 CD 相交于点 F ，则 AF =() A. 1 ⃗ 1 ⃗ AC + BD B. 4 2 1 ⃗ 1 ⃗ AC + BD C. 2 4 1 ⃗ 2 ⃗ AC + BD D. 2 3 2 ⃗ 1 ⃗ AC + BD 3 3 ¿ 10. 已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上 ¿ 不包括端点 A ， ⃗ C ¿ ，则 AP =( ) ⃗ A. ⃗ C. ⃗ λ( AB + AD ) ， λ ∈(0,1) ⃗ λ( AB − AD ) ， λ ∈(0,1) 二．填空题 ⃗ B. ⃗ D. ⃗ λ( AB + BC ) ， λ ∈(0, ⃗ ❑ λ( AB − BC ) ， λ ∈(0, √2 ) 2 ❑ √2 ) 2 ⃗ ⃗ 11.已知 A ， B ， C 是不共线的三点，向量 m 与向量 AB 是平行向量， ⃗ ⃗ 与 BC 是共线向量，则 m =¿ ． ⃗ ⃗ ⃗ 12.在菱形 ABCD 中， ∠ DAB=60° ， ¿ AB ∨¿ 1 ，则 ¿ BC +CD ∨¿ 13.在矩形 ABCD 中， ⃗ | AB|=2 ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ⃗ ，则 ¿ CB + CA − DC ∨¿ |BC|=4 ⃗ ⃗ ⃗ 14.如图，已知 △ ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0 ，若存在实数 m ⃗ ⃗ ⃗ 使得 AB + AC =m AM 成立，则 m=¿ ⃗ ⃗ 15.如图所示，在 △ ABC 中， AE =2 EB ， ⃗ ⃗ AC =b ，则 DE =¿ ¿ ． ¿ 用 a 和 b 表示 ¿ 16.已知点 P 在直线 AB 上，且 λ=¿ ⃗ ，设 AB =a ， ⃗ ⃗ | AB|=3| AP| ⃗ ⃗ ，设 AP =λ PB ，则实数 ． 三、解答题 17. O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED ， OCFB 都是正方 形，在如图所示的向量中： ⃗ ⃗ (1) 分别找出与 AO ， BO 相等的向量； ⃗ (2) 找出与 AO 共线的向量； ⃗ (3) 找出与 AO 模相等的向量； ⃗ ⃗ (4 ) 向量 AO 与 CO 是否相等？ 18.化简： ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (1)( AB + MB )+(BO + BC )+ OM ． ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (2)OP − QP + PS + SP ． a b 19.已知向量 ， 满足 （1） 若 | a | 1 ， | b | 2 a b ，且 ， 的夹角为  2a  3b    a  kb  ，求实数 k 的值； （2） 求 a  b 与 a  b 的夹角的余弦值． 60� ． 20.在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，且 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ¿ AB ∨¿∨ AD ∨¿ 1 ， OA +OC =OB +OD =0 ， cos ∠ DAB= . 求 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ¿ DC +BC ∨¿ 与 ¿ CD + BC ∨¿ 的值． 21.如图平行四边形 ABCD ，点 M 是 AB 的中点， 1 3 点 N 在 BD 上，且 BN = BD . 求证： M ， N ， C 三点共线． 22.如图，一艘船从长江南岸点 A 出发，以 2 ❑√ 3 km/ ℎ 的速度向垂直于对岸的方 向行驶，同时江水的速度为向东 2 km /ℎ ． (1) 试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2) 求船实际航行速度的大小与方向 ¿¿ 方向用与江水速度间的夹角表示 ¿ ． 题 答案 学科 水 号 素养 平 数学 水 1 B 解析与说明 解： ① 若 a=b ，则 |a|=|b| 确； 抽象 平 ② a ∙ b=|a||b|cos< a， b≥0 ，有 ，故 ① 正 一 或 cos< a ，b≥0 ，故 ② 错 |a|=0 或|b|=0 误； ③ 若 |a|=|b| ， a 与 b 方向不确定， 所以 a=b 不一定成立，故 ③ 错误； {| | | | a=b a/¿ b ④ 若 ，则 a=± b ，故 ④ 错误． 故选 B． 2 A. 数学 抽象 水 解：如图，在直角三角形 ABC 中， �C  90� ，则向 平 uuur uuur uuur AC AC ． AB 量 在向量 上的投影向量为 一 3 D 数学 水 运算 平 解： ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AB + BC +CD + DA =AC + CA =0 ． 故选 D． 一 4 A 数学 水 运算 平 解：因为 ⃗ ⃗ ⃗ ( 12 )+ 4=4 ¿ 22+ 4 × 2× 1× − ⃗ 一 5 C 数学 运算 水 平 一 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ¿ AB −2 BC ¿2= AB 2 − 4 AB ⋅ BC + 4 BC 2= AB 2 +4 BA ⋅ BC + 4 BC 2 ， ⃗ 所以 ¿ AB −2 BC ∨¿ 2. 故选： A ． ⃗ ⃗ 解：在平行四边形 ABCD 中， AB 和 DC 方 ⃗ ⃗ 向相同，大小相等，故 AB =DC ，故 A 正确； ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AD + AB = AC ，故 B 正确； AB − AD =DB ，故 C 错误； AD +CD =BD ，故 D 正确． 故选 C． ⃗ 6 B 数学 水 运算 平 一 ⃗ ⃗ 解： ∵ AB + BC = AC ， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ¿ AB ∨¿∨BC ∨¿∨ AB + BC ∨¿ ， ⃗ 则 ⃗ ⃗ | AB|=|BC|=| AC| ， ∴ △ ABC 是等边三角形． 故选 B． 7 A 直观 想象 水 平 解：由于 D ， E ， F 分别是 △ ABC 的 边 AB ， BC ， CA 的中点， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 则 BE =DF ， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 故 AD + BE +CF =AD + DF +CF = AF + FA =0 ． 一 故选 A． 8 C 数学 水 ¿− 运算 平 一 D 直观 水 想象； 平 数学 运算 一 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ AC − BA =− BC + BA − BA 3 2 3 3 2 1 ⃗ 1 ⃗ ¿ − BA − BC ． 6 3 故选 C． 9 ⃗ 解：依题意， DE =DA + AE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 解： ∵ AB + AD = AC ， AD − AB =BD ， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ ∴ AB = ( AC − BD ) ， AD = ( AC + BD ) ， 2 2 又 ∵ △≝¿ ∽ △ BEA ， ∴ DF ： BA=DE ： BE=1 ： 3 ， ⃗ 1 ⃗ ∴ DF = AB ， 3 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ∴ AF = AD + DF =AD + AB 3 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ ¿ ( AC + BD ) + ( AC − BD ) 2 6 2 ⃗ 1 ⃗ ¿ AC + BD ， 3 3 故选： D ． ⃗ 10 A 数学 运算 水 平 ⃗ 又点 P 在线段 AC 上， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 所以 AP 与 AC 同向，且 0<¿ AP ∨¿∨AC ∨¿ ， ⃗ 一 ⃗ 解：由向量加法运算法则可知， AC = AB + AD ． ⃗ ⃗ 故 AP =λ( AB + AD ) ， λ ∈(