北京市 2020 届高三一模分类 解析几何（二） 【双曲线】 一、基础定义及标准方程 x2 y2  1 b 1．（2020·北京东城·一模）已知曲线 C 的方程为 a ，则“ a  b ”是“曲线 C 为 焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2020·北京海淀·一模）已知双曲线 （ x2  y2  1(b  0) b2 的离心率为 5, 则 b 的值为 ） A．1 B．2 C．3 D．4 x2 y2 C：  1 3．（2020·北京延庆·一模）已知双曲线 16 9 的右焦点为 F ，过原点 O 的直 ， 线与双曲线 C 交于 A, B 两点，且 �AFB  60� 则 VBOF 的面积为 3 3 A． 2 9 3 B． 2 4．（2020·北京密云·一模）双曲线 线方程是_______________. 3 C． 2 y 2  x2  1 9 D． 2 的焦点坐标是_______________，渐近 5．（2020·北京丰台·一模）已知双曲线 M： x2  y2 1 3 的渐近线是边长为 1 的菱形 x2 y2  1 OABC 的边 OA ， OC 所在直线.若椭圆 N： a 2 b 2 （ a  b  0 ）经过 A，C 两点， 且点 B 是椭圆 N 的一个焦点，则 a  ______. 二、几何性质的应用 6．（2020·北京东城·一模）若双曲线 y  2x 1 C : x2  y2  1 b  0  b2 的一条渐近线与直线 b 平行，则 的值为 A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 x2  y 2  1 m  c  7．（2020·北京平谷·一模）双曲线 m 的一条渐近线方程为 x  2 y  0 ， 那么它的离心率为（ A． 3 ） 6 C． 2 B． 5 5 D． 2 8．（2020·北京朝阳·一模）在 VABC 中， AB  BC ， �ABC  120�.若以 A ， B 为焦 点的双曲线经过点 C ，则该双曲线的离心率为（ 3 1 C． 2 7 B． 2 5 A． 2 ） D． 3 x2 y2 2  2  1(b  0) y x 9．（2020·北京西城·一模）设双曲线 4 b 2 ， 的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率为____________. x2 y 2  1 10．（2020·北京大兴·一模）在直角坐标系 xOy 中，双曲线 a 2 b 2 （ a  0，b  0 ）的离心率 个结论： e2 ，其渐近线与圆 x 2  ( y  2) 2  4 x 交 轴上方于 A，B 两点，有下列三 � � � � � � ① | OA OB || OA OB | ； ② | OA OB | � ③ 存在最大值； � | OA OB | 6 ． 则正确结论的序号为_______. 【抛物线】 一、抛物线-基础 11．（2020·北京东城·一模）抛物线 1 A． (0,  2 ) B． (0, 1) 12．（2020·北京顺义·一模）抛物线 个焦点，则 p  （ A． x2  4 y y 的准线与 轴的交点的坐标为 C． (0, 2) y 2  2 px  p  0  D． (0, 4) 的焦点是双曲线 x2  y 2  p 的一 ） 2 2 B．8 C．4 D．1 x2  y2  1 13．（2020·北京通州·一模）若抛物线 y  2 px 的焦点与双曲线 3 的右焦点 2 重合，则 p 的值为（ A．4 ） B．2 14．（2020·北京大兴·一模）若抛物线 M 到其顶点 O 的距离等于（ A． C． 5 D． 等于（ B． 2 2 2 2 上一点 M 到其焦点的距离等于 2，则 B． AF D． ） 15．（2020·北京东城·一模）已知点 A．3 y2  4x 3 物线的焦点，则 2 C． A  2, a  2 3 为抛物线 y2  4x 图象上一点，点 F 为抛 ） C．2 D． 2 16．（2020·北京房山·一模）设抛物线 x2＝2py 经过点（2，1），则抛物线的焦点坐 标为_____. 17．（2020·北京海淀·一模）已知点 P(1，2)在抛物线 C : y 2  2 px 上，则抛物线 C 的 准线方程为___. 18．（2020·北京石景山·一模）已知 F 是抛物线 C ： y2  4x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N .若 M 为 FN 的中点，则 FN  ______. x2  y2  1 19．（2020·北京怀柔·一模）已知抛物线 y  2 px 的焦点与双曲线 4 的右顶 2 点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________. 二、抛物线-提升 20．（2020·北京朝阳·一模）已知抛物线 C ： y 2  2 px ( p  0) 的焦点为 F l ，准线为 ， 点 A 是抛物线 C 上一点， AD  l 于 D .若 AF  4 ， �DAF  60�，则抛物线 C 的方程 为（ A． ） y2  8x B． y2  4x C． 21．（2020·北京丰台·一模）过抛物线 C： y2  2x y 2  2 px （ y2  x D． p0 ）的焦点 F 作倾斜角为 AF 60�的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A，B（点 A 在 x 轴上方），则 BF 的值为 （ A． ） 1 3 B． 4 3 C． 3 D．3 22．（2020·北京密云·一模）已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 点，线段 AB 的中点为 A． (�,1) M  1, m   m  0  B． (�,1] C : y 2  4x ，则斜率 k 的取值范围是（ C． (1, �) 23．（2020·北京东城·一模）设 O 为坐标原点，点 A( 1, 0) 交于 A，B 两 ） D． [1, �) ，动点 P 在抛物线 y2  2x 上，且位于第一象限， M 是线段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的范围为 A．  0,1 � 2� 0, � � � B． � � 2 � � 2� 0, � C． � � 2 � �2 � , �� � D． � �2 � 1 24．（2020·北京东城·一模）若顶点在原点的抛物线经过四个点 (1,1) ， (2, ) ， (2,1) ， 2 (4, 2) 中的 2 个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 【轨迹-新定义】 25．（2020·北京朝阳·一模）关于曲线 C : x 2  xy  y 2  4 ，给出下列三个结论： ① 曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、 y 轴对称； ② 曲线 C 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2 . 其中，正确结论的序号是________. 26．（2020·北京朝阳·一模）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C : ( x 2  y 2 )3  4 x 2 y 2 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： ① 曲线 C 关于直线 y  x 对称； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 1 ； ③ 存在一个以原点为中心、边长为 （含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 2 的正方形，使得曲线 C 在此正方形区域内 x2  27．（2020·北京房山·一模）如果方程 4 y|y|＝1 所对应的曲线与函数 y＝f（x）的 图象完全重合，那么对于函数 y＝f（x）有如下结论： ① 函数 f（x）在 R 上单调递减； ②y＝f（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 1； ③ 函数 f（x）的值域为（﹣∞，2]； ④ 函数 F（x）＝f（x）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____. 北京市 2020 届高三一模分类 解析几何（二）-答案 【双曲线】 一、基础定义及标准方程 x2 y2  1 b 1．（2020·北京东城·一模）已知曲线 C 的方程为 a ，则“ a  b ”是“曲线 C 为 焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 若 a  b  0 ，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则满足 a  b  0 ， 即 a  0 ， b  0 ，满足 a  b ，即必要性成立， 即“ a  b ”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力， 是一道容易题. 2．（2020·北京海淀·一模）已知双曲线 （ x2  y2  1(b  0) b2 的离心率为 5, 则 b 的值为 ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 c 由题知 a 2  1 ， e   5 及 c 2 =a 2 +b 2 联解可得. a 【详解】 2 由题知 a  1 ， e c c 2 a 2 +b 2  5 e 2 = 2 = 2 =5 a a a ， ， b  2 . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 x 轴上或 y 轴 b c 的方程组，解出 上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，， a 2，b 2 ，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意 合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定