第三章 圆锥曲线的方程 （能力提升卷） 一、单选题 y  2 px  p  0  4 3 1．若点 A ， B 在抛物线 上， O 是坐标原点，若等边三角形 OAB 的面积为 ，则该抛物 2 线的方程是（ A． y2  ） 2 3 x 3 2 B． y  3x 2 C． y  2 3x D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为 长为 5，若 2a  8 ，那么 A．16 C : y 2  8x 距离的最小值为（ A．2 F2 ，过点 的周长是（ 的直线与双曲线的左支交于 的焦点为 F A ， B 两点，线段 AB 的 ） C．21 ，过点 B．4  F1 3 x 3 F D．26 的直线交 C 于 A B ， 两点，则 AB 的中点 M 到 C l 的准线 的 ） 4．已知实数 x ， y 满足 xx C．5 y y 3 1 ，则 � 6 � 3 ,3 � � B． � 2 � � 5．在棱长为 1 的正方体 ） ， B．18 3．已知抛物线 6  6,3 A． � � VABF2 F1 y2  ABCD  A1 B1C1 D1 D．6 3x  y  6 的取值范围是（ 6  6, 6 C． � � P  ） � 6 � 3 ,6� � � D． � 2 � 中，若点 是棱上一点，则满足 | PB |  | PD1 | 2 P 的点 的个数为（ A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 2 � � 6．已知 F , F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且 F1 F2  4 ， �F1PF2  ，则 PF � 的 1 2 1 PF2 3 取值范围为（ ） � 3 �  ,0� � � A． � � 3 � �4 3 2 3� �4 3 �  ,  ,0� � � � � � � B． � C． 3 � � 3 � 3 � �8 �  ,0� D． � �3 � x2 y 2 3 1  1 (1, ) 7．已知 F 1 ， F2 是椭圆 C ： 4 b 2 的左、右焦点，离心率为 2 ，点 A 的坐标为 2 ，则 �F1 AF2 的平分 线所在直线的斜率为（ A． 2 B． 8．已知椭圆 C : 内心 A． I ( s,1) ） ，若 1 3 C． D． 2 x2 y2   1( a  b  0), F1 , F2 为 C 的左､右焦点， P (m, n)(m  0, n  0) 为 C 上一点，且 △ PF1 F2 的 a 2 b2 △ PF1 F2 3 5 的面积为 2b，则 n 的值为（ B． 4 3 C． 8 3 ） D．3 二、多选题 x2 y2  1 2 2 3 9． P 为椭圆 C1 ： 4 上的动点，过 P 作 C1 切线交圆 C2 ： x  y  12 于 M ， N ，过 M ， N 作 C2 切 线交于 Q ，则（ ） 3 A． SVOPQ 的最大值为 2 3 B． SVOPQ 的最大值为 3 x2 y2  1 C． Q 的轨迹是 36 48 10．1.已知椭圆 C: x2 y2   1(a  b  0) a 2 b2 的左，右两焦点分别是 F1 ， F2 ，其中 F1F2  2c ．直线 l : y  k  x  c   k �R  A． VABF2 的周长为 x2 y 2  1 D． Q 的轨迹是 48 36 与椭圆交于 A，B 两点．则下列说法中正确的有（ ） 4a B．若 AB 的中点为 M，则 kOM � k b2 a2 �5 1� � , � C．若 AF1� AF2  3c 2 ，则椭圆的离心率的取值范围是 �5 2 � � D．若 � 1 的最小值为 3c ，则椭圆的离心率 e  2 AB 三、填空题 11．已知抛物线 y2  4x 和 A  0， 1 ，点 P 为抛物线上的动点， P 到该抛物线准线的距离为 d，则 PA +d 的 最小值为___________. x2 y2  1 3 2, 2 12．与双曲线 16 4 有公共焦点，且过点 的双曲线的标准方程为______．   13．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨， 于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟 空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下 H 出发经过 PB 的中点 M 到 H � ，大致观察一下该面山，如 图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线， PO  2 则该抛物线的焦点到准线的距离为___________ ，底面圆 O 的面积为 16 , HH � O 为底面圆 的一条直径， x2 y 2  2 1 2 b 14．已知 F 为双曲线 C ： a （ a  0 ， b  0 ）的右焦点， O 为坐标原点，点 A 是以 OF 为直径的圆 与双曲线 C 的一个公共点.若点 F 关于点 A 的对称点也在双曲线 C 上，则双曲线 C 的渐近线的斜率为______ _____. 15．已知 x 2  y 2  ( x  8)2  ( y  6) 2  20 16．已知椭圆 C : ，则 | 3 x  4 y  100 | 的最值为_________. x2 y2   1 的左、右焦点分别为 F ， F ，上顶点为 ，且 �F DF  120� ，若第一象限的 1 2 1 2 a 2 b2 D 点 A 、 B 在 C 上， AF2  2 ， BF2  4 ， AB  3 ，则直线 AB 的斜率为__________. 四、解答题 x2 y2  2  1(a  b  0) 2 b 17．已知 F1 , F2 分别是椭圆 C : a 的的左、右焦点， F2 (2,0) ，点 P 在椭圆 C 上且满足 | PF1 |  | PF2 | 2 6 . （1）求椭圆 C 的方程； A, B 3 C l VAOB l 1 （2）斜率为 的直线 与椭圆 相交于 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程. x2 y 2  2  1(a  b  0) 2 b 18．如图，椭圆  ： a 的离心率为 e ， F1 ， F2 分别是其左、右焦点，过 F2 的直线 l 交椭 圆于点 A ， B ， P 是椭圆上不与 A ， B 重合的动点， O 是坐标原点． （1）若 O 是△ （2）若 F1 PAB  的外心， �APB  4 ，求 e 的值； e 是△ PAB 的重心，求 的取值范围． x2 y 2  2  1 a  0, b  0  2 b 19．已知双曲线 E： a 的离心率为 2，点 P  2,3 在 E 上. （1）求 E 的方程： （2）过点 Q  0,1 的直线 1 交 E 于不同的两点 A，B（均异于点 P），求直线 PA，PB 的斜率之和. 20．已知 F1 (c, 0), F2 (c, 0) 为双曲线 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M C : x2  ，且 y2  1(b  0) b2 的左、右焦点，过点 F2 作垂直于 x 轴的直线，并 �MF1 F2  30� ． （1）求双曲线 C 的方程； （2）过圆 的中点为 O : x2  y 2  b2 N 21．已知点 ，证明： P (1, 2) 上任意一点 | AB | 2 | ON | 在抛物线 Q  x0 , y0  上，过点 直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. （2）求直线 l 的斜率的取值范围； O 的切线 l ，交双曲线 C 于 A, B 两个不同的点， AB ． C : y 2  2 px （1）求抛物线 C 的方程； 作圆 Q(0,1) l 的直线 与抛物线 C 有两个不同的交点 A、B，且 1 1 uuur uuu r uuur uuu r + （3）设 O 为原点， QM   QO, QN   QO ，求证：   为定值. x2  y2  1 2 22．已知抛物线 T： y  2 px （ p �N  ）和椭圆 C： 5 ，过抛物线 T 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 M，N 两点. （1）若 F 恰是椭圆 C 的焦点，求 p 的值； （2）若 MN 恰好被 AB 平分，求 VOAB 面积的最大值 参考答案 1．A 【分析】 根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得 A 点的坐标，代入抛物线方程求得 p 的值. 【详解】 设等边三角形 OAB 的边长为 a ， 3 2 a 4 3 4 则 ，解得 a  4 ．  根据抛物线的对称性可知 �AOx  6 ，且 OA  a  4 ，  � � OA cos , OA sin � � 6 6 �，即 2 3, 2 ， 设点 A 在 x 轴上方，则点 A 的坐标为 �  将 2 3, 2  代入抛物线方程得 2 2  2p� 2 3，  解得 3 3 2 3 y2  2 � � x x 3 ，故抛物线方程为 3 3 ． p 故选：A 2．D 【分析】 根据双曲线定义知， AF2  BF2  AB AF2  AF1  2a ， BF2  BF1  2a ，结合 AF1  BF1  AB ，从而计算出 VABF2 的周长 的值. 【详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ AF2  AF1  2a  8 ， BF2  BF1  2a  8 AF2  BF2   AF1  BF1   16 AF2  BF2  16  5  21 VABF2 的周长为 ， ， ， AF2  BF2  AB  21  5  26 ． 故选：D 3．B 【分析】 设出直线 AB 的方程 x  my  2 ，联立后利用弦长公式表达出 AB ，求出 AB 长度的最小值，再利用抛物线的 定义来进