第一讲 椭圆 安徽省太和中学　　岳　峻 一、考情分析 解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性 比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力 的要求较高． “圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用． 本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生 培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好 的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神． 二、知识归纳 （一）椭圆的定义 （1）第一定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a  2a | F1 F2 | 的点的轨迹叫 作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． MF1  MF2  2a  2a | F1 F2 | ． 2a | F1F2 | F1 F2 特征式： 注：①若 ②若 2a | F1F2 | ，则点的轨迹是线段 Ｐ 的垂直平分线； Ｆ１ Ｆ２ ，则这样的点不存在． Ｐ （2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线 l 的距 离的比是常数 e � 0， 1 ，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫 Ｆ 做焦点，定直线叫做准线，常数 e 就是离心率． MF1 特征式： d M �l  e  0  e  1 ． （二）椭圆的方程 （1）椭圆的标准式方程： ①  x  m 2 a2  y  n  2  x  m  2 b2  1 a  b  0  ；（焦点在 x 轴的平行线上，中心在  m，n  的椭圆方 程） ②  y  n a2 2 b2  1 a  b  0  ．（焦点在 y 轴的平行线上，中心在  m，n  的椭圆方 程） （2）椭圆的参数方程： y �x  a cos  x2 y 2 �   1 a  b  0  ① �y  b sin  ； a2 b2 � B  O A M N x 注： ϕ 角不是 ∠ NOM ． �x  m  a cos   x  m   y  n  1 a  b  0 �  ． ②� a2 b2 �y  n  b sin  uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r OM  OF  OM  OF  2 a 2 a  | OF  OF 1 2 1 2 | ． （3）椭圆的向量式方程： 2 2   x2 y 2   1 a  b  0  （三）性质：对于椭圆 a 2 b 2 而言， ① 范围： −a ≤ x ≤ a ， −b ≤ y ≤b ，椭圆落在 x  �a，y  �b 组成的矩形中． ② 对称性：图象既关于 y 轴对称，又关于 x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称 中心，简称中心． x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴． ③ 顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 加两焦点 F1 (c，，， 0) F2 (c 0) A (a，，， 0) A2 (a 0) ， B(0，，，  b) B2 (0 b) ； 共有六个特殊点． A 1 A 2 叫椭圆的长轴， B 1 B2 叫椭圆的短轴，长 2b ． a、b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长． 分别为 2a、 c b ④ 离心率：椭圆焦距与长轴长之比 e  a � e  1  ( a ) 注：椭圆形状与 e 的关系：  0  e  1 ． b �1 ，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可 a e � 0， 认为圆为椭圆在 e=0 时的特例； 2 e � 1， b �0 ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段 F1 F2 ， a 此时也可认为圆为椭圆在 e=1 时的特例． a2 a2 x2 y2 + =1 ，左准线 l1：x   c ；右准线 l2：x  c ； ⑤ 椭圆的准线方程：对于 a2 b2 a2 a2 y2 x2 l ： y   l ： y  2 + =1 ，下准线 1 对于 c ；上准线 c ． a 2 b2 ⑥ 焦准距：焦点到准线的距离 p= a2 a2 −c 2 b2 − c= = （焦参数）． c c c 2b 2 ⑦ 通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为 a ． ⑧ 焦半径公式： 焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： MF1  a  ex0 （左焦半径）； MF2  a  ex0 （右焦半 MF1  a  ey0 （下焦半径）； MF2  a  ey0 （上焦半 径）； 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式： Ｐ 径）； （规律：左加右减，上减下加．） ⑨ 焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形   cos Ｆ１  2 S   b2 tan ；e     ．（如何证明？） 2 称焦点三角形； cos 2    Ｆ２ （四）椭圆系方程（焦点在 x 轴的上，中心在原点） x2 y2   1 k  c 2  ； 2 （1）共焦点的椭圆系： k k c 注：若 0  k  c2 ，则表示共焦点的双曲线系． x2 y 2       0 （2）离心率相同的椭圆系： a 2 b 2 ． x2 y2      �0  注：若 a 2 b 2 ，则表示共渐进线的双曲线系． 三、精典例析 （一）活用定义 例 1： 椭圆 2 2 y x y + =1 上有一点Ｐ它到椭圆的左准 100 36 N1 线距离为 10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离． 4 x2 y 2 + =1 的离心率为 e= 解析：椭圆 5 ， 100 36 K1 10 P A1 F1 根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为： 10 e=8 ； 再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为 20－8＝12 ． 例 2：方程 2  x  1 2 P  x，y  O F2 B1   y  1  x  y  2 表示什么曲线？ 2  x  1 解析：设 B2 ，则原方程等价于： 2   y  1 x y2 2  2 2 ， 2 2 ， 的距离与它到定直线 l：x  y  2  0 的距离之比为 2 ， 即： P  x，y  到定点 A  11 故原方程表示以定点 A  11 ， 为焦点，以定直线 l：x  y  2  0 为准线的椭圆． x2 y 2 1 F2  1 0  是 C：m  8  1 的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点． 例 3：定点 A  2，，， A2 x （1）求 PA  PF2 （2）求 PA  3 PF2 的范围； P 的最小值． 2 A 2 x y C ：  0  是 m 8  1 的焦点， 解析：∵ F2  1， P2 Ｆ1 D P1 H Ｆ2 x2 y 2 C ：  1 ∴ ． 9 8 � 6  10， 6  10 � （1） PA  PF2  PA  2a  PF1  6  PA  PF1 �� �． （2） PA  3 PF2  PA  PD �AH  7 引申： PA  1 PF  AP  d P 准线准线 �d A e ． 也适用于双曲线、抛物线． 1 e M 1 ， 2   y 例 4：求过定点 ，以 轴为准线、离心率为 2 的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程． 解析：设 P  x，，， y  F  x0 y0  x0  x 1 3  � x0  x ，且 x 2 2 ，则：  x0  1 2 y  y0 ，   y0  2  2 1 0 2 1 1 2 �3 �  � � x  1�  y  2   ， 2 4 �2 � 2 1 2 �3 � 故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是 �2 x  1�  y  2   4 ． � � （二）焦半径公式 2 例 5：椭圆 2 x y + =1 a2 b2 (a>b>0) ，其上一点 P  3，y  到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5， 求椭圆方程． 解析：由椭圆的焦半径公式，得： a  3e  6.5 � 1 5 75 � a  5，e  � c  ，b 2  a 2  c 2  ，解得： 2 �a  3e  3.5 2 4 ． x2 4 y 2  1 故所求椭圆方程为： 25 75 ． x2 y 2  1 例 6：已知Ｐ为椭圆 25 9 上的点，且Ｐ与 F1、F2 的连线互相垂直，求Ｐ． 解析：由题意，得： 5− 4 x ¿ 2+¿ 5 0 ¿ 4 7 ×25 2 81 5+ x 0 ¿ 2 ＝64 ⇒ x 0 = ， y = 5 16 16 ， ¿ 2 �5 7 9 � 5 7 9 5 7 9 5 7 9 ，，，，，，， (  ) (   )(  )． � � 4 4 4 4 4 4 4 4 � � ∴Ｐ的坐标为 � � x2 y 2  1 例 7：椭圆 4 上能否找到一点 M ，使得 M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的 3 等比中项？ x2 y2  1 解析：椭圆 4 的左准线是 l：x  4 ，若存在，设 M  x0，y0  ，则： 3 12 2 x   0 a  ex a  ex  x  4 � x   4   0  0  0 0 或 5 ， ∵ x0 �2 ，故不存在符合条件的点． 例 8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点， F2 为右焦点，求证：以线段 F2 P 为直径的 圆与以椭圆长轴为直径的圆内切． x2 y 2   1 a  b  0  解析：设椭圆方程为 a 2 b 2 ，焦半径 F2 P 是圆 O 1 的直径，则： a− |PF2| 2 = 2 a −|PF2| |PF1| = =|OO1| ， 2 2 ∴两圆半径之差等于圆心距． 故以线段 F2 P 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切． （三